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北京明光中學2009屆高三教學檢測數學試題

　一.選擇題（每題5分，共60分）。
1、已知集合，則集合=（　　 ）
　　A．{}　 　　　 B．{}　　　　　
　　C．{} 　　 D．{}
2、設實數a∈[-1,3], 函數f(x)=x²-(a+3)x+2a，當f(x)>1時，實數x的取值范圍是（　　 ）
　　A、[-1,3]　　 B、(-5,+∞)　　 C、(-∞,-1)∪(5,+∞)　　 D、(-∞,1)∪(5,+∞)
3、已知函數f(x)=在區間[2，+∞）是減函數，則實數a的取值范圍是（　　 ）
　　A、（-∞，4） 　　B、（0,12）　　C、（-4，4）　　D、（0,4）
4、已知函數，那么f^-1(1)的值等于（ 　　）。
　A、0　　 B、-2　　 C、　　 D、
5、將y=2^x的圖象（　　 ），再作關于直線y=x對稱的圖象，可得函數y=log₂(x+1)的圖象。
　　A、先向左平移一個單位　　 B、先向右平移一個單位
　　C、先向上平移一個單位　　 D、先向下平移一個單位
6、一個棱錐被平行于底面的截面截成一個小棱錐和一個棱臺（用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺），若小棱錐的體積為y，棱臺的體積為x，則y關于x的函數圖象大致形狀為（　 　）。

　　
7、已知數列，那么“對任意的，點都在直線上”是“為等差數列”的 （　　 ）
　　(A)必要而不充分條件　　 (B)充分而不必要條件
　　(C)充要條件　　　　　　 (D)既不充分也不必要條件
8、如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點。那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（　　 ）

(A)　　(B)　　(C)　　(D)
9、若為圓的弦AB的中點，則直線AB的方程是（　　 ）
　　(A)　　(B)
　　(C)　　(D)
10、函數)為增函數的區間是(　　 )
　　(A)　　(B)　　(C)　　(D)
11、已知向量a、b滿足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，則|a+b|=（　　 ）
　　A．1　　B．　　C．　　D．
12、已知函數f(x)定義域為R，則下列命題：
　　①y=f(x)為偶函數，則y=f(x+2)的圖象關于y軸對稱.
　　②y=f(x+2)為偶函數，則y=f(x)關于直線x=2對稱.
　　③若函數f(2x+1)是偶函數，則f(2x)的圖象關于直線 對稱.
　　④若f(x-2)=f(2-x)，則y=f(x)關于直線x=2對稱.
　　⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的圖象關于x=2對稱.
　　其中正確的命題序號是(　　 )
　　A、①②④　 　B、①③④　　 C、②③⑤　　 D、②③④

　　二. 填空題（每題5分，共20分）。
　　13、設坐標平面內有一個質點從原點出發，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，經過5次跳動質點落在點（3，0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有________種（用數字作答）。
14、若，則。(用數字作答)
15、兩個籃球運動員在罰球時投球的命中率為0.7和0.6，每人投籃三次，則兩人都恰好進2球的概率是______。(用數字作答,精確到千分位)
16、曲線關于直線x=2對稱的曲線方程是___________。

三、解答題（共70分）
17、（本題滿分14分） 在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且。
Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求bc的最大值。
18、（本題滿分14分）
　　如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F。
　　(I)證明 平面；
　　(II)證明平面EFD；
　　

試題詳情

　　一.選擇題（ 5分 × 12 = 60 分 ）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

C

A

D

C

題號

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

C

D

C

　　二.填空題（ 5分 × 4 = 20分 ）

　　13、5　　14、1　　15、0.19　　16、

　　三、解答題（共70分）

　　17、（本題滿分14分）
　　在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且。
　　（Ⅰ）求的值；
　　（Ⅱ）若，求bc的最大值。

　　解: (Ⅰ) 　　=
　　= 　　= 　　=

　　(Ⅱ) ∵ 　　∴ ,
　　又∵ 　　∴ 　　當且僅當 b=c=時,bc=,故bc的最大值是.

　　18、（本題滿分14分）
　　如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F。
　　(I)證明 平面；
　　(II)證明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

　　方法一：
　　(I)證明：連結AC，AC交BD于O。連結EO。
　　底面ABCD是正方形，點O是AC的中點
　　在中，EO是中位線，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。

　　(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ①
　　同樣由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC
　　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD

　　(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知，
　　設正方形ABCD的邊長為，則
　　
　　在中，
　　
　　在中，
　　
　　所以，二面角的大小為

　　方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設
　　(I)證明：連結AC，AC交BD于G。連結EG。
　　依題意得
　　底面ABCD是正方形，
　　是此正方形的中心，
　　故點G的坐標為且
　　
　　。這表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

　　(II)證明：依題意得。又故
　　
　　
　　由已知，且所以平面EFD。

　　(III)解：設點F的坐標為則
　　
　　從而所以
　　
　　由條件知，即
　　解得 。
　　點F的坐標為且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　
　　
　　
　　所以，二面角的大小為

　　19、（本題滿分14分）
　　盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同）。記第一次與第二次取到球的標號之和為。
　　（Ⅰ）試用列舉法表示隨機變量的取值集合；
　　（Ⅱ）求隨機變量任取集合中每一個值的概率。
　　解:
　　（Ⅰ）由題意可得,隨機變量的取值集合是={2、3、4、6、7、10}。

　　（Ⅱ）隨機變量取集合={2、3、4、6、7、10}中的每一個值時，其概率如下：

2

3

4

6

7

10

P（）

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

　　20、（本題滿分14分）
　　設a>0，是奇函數。
　　（1）試確定a的值；
　　（2）試判斷f(x)的反函數f^-1(x)的單調性，并證明。
　　解：
　　（1）∵ f(x)為奇函數， ∴ f(x)+f(-x)=0
　　即對定義域內x均成立，
　　解得a=1，即 。

　　因 得，
　　則，
　　∴ f^-1(x₁)<f^-1(x₂)，即f^-1(x)為增函數。

　　21、（本題滿分14分）
　　一條斜率為1的直線l與離心率的雙曲線(a>0, b>0)交于P、Q兩點，直線l與y軸交于R點，且，求直線和雙曲線方程。

　　解：∵ ， ∴ b²=2a²，∴ 雙曲線方程可化為2x²-y²=2a²,
　　設直線方程為 y=x+m,
　　由得 x²-2mx-m²-2a²=0,
　　∴ Δ=4m²+4(m²+2a²)>0
　　∴ 直線一定與雙曲線相交。
　　設P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), 則x₁+x₂=2m, x₁x₂=-m²-2a²,
　　∵ ， ,
　　∴ , ∴
　　消去x₂得，m²=a²,
　　=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+m)(x₂+m)
　　=2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=m²-4a²=-3
　　∴ m=±1, a²=1, b²=2.
　　直線方程為y=x±1，雙曲線方程為。