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　　一.選擇題（ 5分 × 12 = 60 分 ）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

C

A

D

C

題號

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

C

D

C

　　二.填空題（ 5分 × 4 = 20分 ）

　　13、5　　14、1　　15、0.19　　16、

　　三、解答題（共70分）

　　17、（本題滿分14分）
　　在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且。
　　（Ⅰ）求的值；
　　（Ⅱ）若，求bc的最大值。

　　解: (Ⅰ) 　　=
　　= 　　= 　　=

　　(Ⅱ) ∵ 　　∴ ,
　　又∵ 　　∴ 　　當且僅當 b=c=時,bc=,故bc的最大值是.

　　18、（本題滿分14分）
　　如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F。
　　(I)證明 平面；
　　(II)證明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

　　方法一：
　　(I)證明：連結AC，AC交BD于O。連結EO。
　　底面ABCD是正方形，點O是AC的中點
　　在中，EO是中位線，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。

　　(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ①
　　同樣由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC
　　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD

　　(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知，
　　設正方形ABCD的邊長為，則
　　
　　在中，
　　
　　在中，
　　
　　所以，二面角的大小為

　　方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設
　　(I)證明：連結AC，AC交BD于G。連結EG。
　　依題意得
　　底面ABCD是正方形，
　　是此正方形的中心，
　　故點G的坐標為且
　　
　　。這表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

　　(II)證明：依題意得。又故
　　
　　
　　由已知，且所以平面EFD。

　　(III)解：設點F的坐標為則
　　
　　從而所以
　　
　　由條件知，即
　　解得 。
　　點F的坐標為且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　
　　
　　
　　所以，二面角的大小為

　　19、（本題滿分14分）
　　盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同）。記第一次與第二次取到球的標號之和為。
　　（Ⅰ）試用列舉法表示隨機變量的取值集合；
　　（Ⅱ）求隨機變量任取集合中每一個值的概率。
　　解:
　　（Ⅰ）由題意可得,隨機變量的取值集合是={2、3、4、6、7、10}。

　　（Ⅱ）隨機變量取集合={2、3、4、6、7、10}中的每一個值時，其概率如下：

2

3

4

6

7

10

P（）

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

　　20、（本題滿分14分）
　　設a>0，是奇函數。
　　（1）試確定a的值；
　　（2）試判斷f(x)的反函數f^-1(x)的單調性，并證明。
　　解：
　　（1）∵ f(x)為奇函數， ∴ f(x)+f(-x)=0
　　即對定義域內x均成立，
　　解得a=1，即 。

　　因 得，
　　則，
　　∴ f^-1(x₁)<f^-1(x₂)，即f^-1(x)為增函數。

　　21、（本題滿分14分）
　　一條斜率為1的直線l與離心率的雙曲線(a>0, b>0)交于P、Q兩點，直線l與y軸交于R點，且，求直線和雙曲線方程。

　　解：∵ ， ∴ b²=2a²，∴ 雙曲線方程可化為2x²-y²=2a²,
　　設直線方程為 y=x+m,
　　由得 x²-2mx-m²-2a²=0,
　　∴ Δ=4m²+4(m²+2a²)>0
　　∴ 直線一定與雙曲線相交。
　　設P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), 則x₁+x₂=2m, x₁x₂=-m²-2a²,
　　∵ ， ,
　　∴ , ∴
　　消去x₂得，m²=a²,
　　=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+m)(x₂+m)
　　=2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=m²-4a²=-3
　　∴ m=±1, a²=1, b²=2.
　　直線方程為y=x±1，雙曲線方程為。