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練習冊

練習冊
試題

廣東省東莞市2009屆高三理科數學模擬試題(二)

命題人：東莞高級中學黃云秀 2009.4.10

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，則

A．M∩N = { 4，6 } B．M∪N = U C．(C_u N )∪M = U D．(C_u M )∩N = N

2．已知復數若為實數，則實數的值為

A． B． C． D．

3．已知等差數列的前13項之和為，則等于

．　　　　　．　　　　　．　　　　　．

4．設函數，把的圖象向右平移個單位后，圖象恰好為函數的圖象，則的值可以為

A． B． C． D．

5．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有下列命題：

①若，則； ②若，，則；

③若，則； ④若，則；

其中真命題的個數是

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

6．設命題，則是的

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

7．5個人站成一排，若甲乙兩人之間恰有1人，則不同站法有

A．18種 B．24種 C．36種 D．48種

8．如圖，已知，，從點射出的光線經直線反射后再射到直線上，最后經直線反射后又回到點，則光線所經過的路程是

A． B．6 C． D．

（一）必做題（9~12題）

二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.

9. 由曲線所圍成的圖形面積是 .

10. 與圓=1 相切，且在兩坐標軸上截距相等

的直線共有_____________條．

11．用單位立方塊搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖

如下圖所示，則它的體積的最小值為，最大

值為 .

12.2008年1號臺風"浣熊"(NEOGURI)于4月19日下午減弱為熱帶低壓后登陸陽江.如圖，位于港口正東向海里處的漁船回港避風時出現故障.位于港口南偏西，距港口海里處的拖輪接到海事部門營救信息后以

海里小時的速度沿直線去營救漁船，則

拖輪到達處需要__________小時.

（二）選做題（13-15題，考生只能從中選做二題）

13. （坐標系與參數方程選做題）.在直角坐標系中，已知點，若以為極點，軸的正半軸為極軸，則點的極坐標可寫為______.

14.（不等式選講選做題）已知關于的不等式（是常數）的解是非空集合，則的取值范圍是．

15.（幾何證明選講選做題）如圖，已知PA、PB是

圓O的切線，A、B分別為切點，C為圓O上

不與A、B重合的另一點，若∠ACB = 120°，

則∠APB = ．

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

在銳角中，已知內角、、所對的邊分別為、、，向量

，且向量,共線．

（1）求角的大小；

（2）如果，求的面積的最大值．

17．（本小題滿分12分）

東莞市政府要用三輛汽車從新市政府把工作人員接到老市政府，已知從新市政府到老市政府有兩條公路，汽車走公路①堵車的概率為，不堵車的概率為；汽車走公路②堵車的概率為，不堵車的概率為．若甲、乙兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響．

（1）若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為，求走公路②堵車的概率；

（2）在（1）的條件下，求三輛汽車中被堵車輛的個數的分布列和數學期望．

18．（本小題滿分14分）

如圖，在三棱錐P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF:FC=3:1．

（1）求證：PA⊥BC；

（2）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；

（3）在滿足（2）的情況下，求二面角G-AB-C的平面

角的正切值．

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19．（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數，

（1）討論時, 的單調性、極值；

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

20．（本小題滿分14分）

已知A、B、C是橢圓上的三點，其中點A的坐標為，BC過橢圓m的中心，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點P，Q，設D為橢圓m與y軸負半軸的交點，且.求實數t的取值范圍．

21．（本題滿分14分）

已知數列中，且點在直線上.

（1）求數列的通項公式；

（2）若函數求函數的最小值；

（3）設表示數列的前項和．試問：是否存在關于的整式，使得

對于一切不小于2的自然數恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

東莞市2009屆高三理科數學模擬試題(二)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B 2. D 3.B 4.B 5.A 6.A 7.C 8. A.

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9. 10. 4 11. （2分），（3分）

12. 13. 14. 15.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

16.（本題滿分10分）

解：（1）由向量共線有：

即， 4分

又，所以，

則=，即 6分

（2）由余弦定理得

則，

所以當且僅當時等號成立 10分

所以． 12分

17．（本小題滿分12分）

解：（1）由已知條件得

2分

即，則 6分

答：的值為．

（2）解：可能的取值為0，1，2，3 5分

6分

7分

8分

的分布列為：

0

1

2

3

10分

所以 12分

答：數學期望為．

18．（本小題滿分14分）

解：(1) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

∴，∴；……1分

又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

同理可得 …………………………2分

∵，∴……3分

∵平面ABC，∴PA⊥BC. …………4分

(2) 如圖所示取PC的中點G，…………………5分

連結AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點

又D、E分別為BC、AC的中點，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，……………7分

∴面ABG∥面DEF．

即PC上的中點G為所求的點． …………… 9分

(3)由(2)知G這PC的中點，連結GE，∴GE⊥平面ABC，過E作EH⊥AB于H，連結GH，則GH⊥AB，∴∠EHG為二面角G-AB-C的平面角． …………… 11分

∵ 又

∴ 又 …………… 13分

∴

∴二面角G-AB-C的平面角的正切值為． …………… 14分

19．（本小題滿分14分）

（1）， ……1分

∴當時，，此時單調遞減

當時，，此時單調遞增 ……3分

∴的極小值為 ……4分

（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，……5分

令，， ……6分

當時，，在上單調遞增 ……7分

∴

∴在（1）的條件下，……9分

（3）假設存在實數，使（）有最小值3， …9分

① 當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值. ……10分

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增

，，滿足條件. ……11分

③ 當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數，使得當時有最小值3.……14分

20．解（1）∵過（0，0）

則

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又∵

將C點坐標代入得

解得 c²=8，b²=4

∴橢圓m： …………5分

（2）由條件D（0，－2） ∵M（0，t）

1°當k=0時，顯然－2<t<2 …………6分

2°當k≠0時，設

消y得

…………8分

由△>0 可得 ①………………9分

設

則

∴ …………11分

由

∴ ②

∴t>1 將①代入②得 1<t<4

∴t的范圍是（1，4）………………13分

綜上t∈（－2，4） ………………14分

21．（本小題滿分14分）

解：（1）由點P在直線上，

即，-----------------------------------------------2分

且，數列{}是以1為首項，1為公差的等差數列

，同樣滿足，所以---------------4分

（2）

---------------------6分

所以是單調遞增，故的最小值是----------------------8分

（3），可得，-------10分

，

……

，n≥2------------------12分

．

故存在關于n的整式g（x）=n,使得對于一切不小于2的自然數n恒成立．----14分

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