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已知橢圓的兩個焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²與b²的等差中項，其中a、b、c都是正數，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）點P是橢圓上一動點，定點A₁（0，2），求△F₁PA₁面積的最大值；
（3）已知定點E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點．證明：對任意的t＞0，都存在實數k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．

已知橢圓的兩個焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²與b²的等差中項，其中a、b、c都是正數，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A作直線交橢圓于另一點M，求|AM|長度的最大值；
（3）已知定點E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點．證明：對任意的t＞0，都存在實數k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點F₁、F₂和短軸的兩端點B₁、B₂正好是一正方形的四個頂點，且焦點到橢圓上一點的最近距離為

2

-1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設P是橢圓上任一點，MN是圓C：x²+（y-2）²=1的任一條直徑，求

PM

•

PN

的最大值．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以拋物線y2=4

3

x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=

1

mn

y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．