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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°，M是線段PD上的一點（不包括端點）．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求異面直線AC與PD所成的角的余弦值；
（3）若點M為側棱PD中點，求直線MA與平面PCD所成角的正弦值．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）求證：CD⊥AE；
（2）求證：PD⊥面ABE；
（3）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，點E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，點E是棱PB上的動點．
（Ⅰ）當PD∥平面EAC時，確定點E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角A-CE-P余弦值．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．
（Ⅰ）求證：CD⊥PD；
（Ⅱ）若AD=2，BC=3，F為PD中點，BE=

1

3

BC，求證：EF∥平面PAB．

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一、選擇題:

       1. C  2. C  3. B  4.C  5. D  6. D  7. C 8. D  9. B  10. A  11. C  12. C

二、填空題:

       13.  85，1.6    14.  800   15.    16.

三、解答題:

17.解: （1）………………………1分

       ，

               化簡得…………………………3分

       （2）)

             令Z），函數f(α)的對稱軸方程為

              Z).………………………………………………………12分

18. 解：（1）從盒中同時摸出兩個球，有種可能情況，…………2分

       摸出兩球顏色恰好相同即兩個黑球或兩個白球，有1+種情況，……4分

       故所求概率是………………………………………………………………6分

       （2）從盒中摸出一個球，放回后再摸出一個球，共有5×5=25種情況，……8分

       若兩球顏色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”，共有2×3+3×2=12種可能情況，故所求概率是………………………………………………………………………12分

       （本題也可一一列出基本事件空間后求解）

19.解：（1）a_n+1+a_n=3n-54, a_n+2+a_n+1=3(n+1)-54.

       兩式相減得a_n+2-a_n=3(n∈N^*)，

       ∴數列a₁,a₃,a₅,……, a₂, a₄, a₆, …都是公差為3的等差數列.……………………1分

       a₁=-27, a₁+a₂==-51, a₂=-24。采用疊加法可得，

       當n為奇數時，a_n=；…………………………3分

       當n為偶數時，a_n=……………………………5分

       ∴a_n=………………………………6分

       （2）因為n為偶數，所以

              S_n=(a₁+a₂)+(a₃+a₄)+……+(a_n-1+a_n)…………………………8分

              =(3×1－54)+(3×3?54)+……+[3(n?1)?54]

              =…………………………………………10分

              若n為偶數，當n=18時，S_n取到最小值-243.……………………12分

20. （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

                       又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……2分

                       又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……4分

       （2）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

                       又PC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∴AC⊥AD.

                       在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，

                       ∴∠DCA=∠BAC=.

                       又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形。

                       ∴DC=2AB,  

                       ……………………8分

（3）連結BD，交AC于點M，連結EM，則

                在△BPD中，∴PD∥EM.

                又PD平面EAC，EM平面EAC，

                ∴PD∥平面EAC.……………………（12分）

21.解：（1）設直線AB的方程為y=k(x+1),

       將y=k(x+1)代入x²+3y²=5, 消去y整理得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-5=0.………2分

       △=36k⁴-4(3k²+1)(3k²-5)>0恒成立，

       設A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), 則x₁+x₂=,………………………………4分

       由線段AB中點的橫坐標是，

       得解得k=±.……………………5分

       所以直線AB的方程為或……………………6分

       （2）假設在x軸上存在點M（m, 0），使為常數.

       由（1）知x_­1+x₂=①

    所以

    =

       =……………………8分

       將①代入上式，整理得，

    ∴

    ∵

       綜上，在x軸上存在定點M，使為常數……………………12分

22.解：（1）f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=,

令f′(x)=0，得x=e^1-a_.……………………3分

當x∈（0, e^1-a­­­­）時，f′(x)>0,f(x)在(0, e^1-a­­­­)內是單調遞增，當x∈(e^1-a_­,+∞)時，f′(x)<0,f(x)在(e^1-a,+∞)內是單調遞減.…………………………6分

∴f(x)在x=e^1-a處取得極大值f(e^1-a)=e^a-1.………………8分

（2）∵a>0, ∴e^1-a<e²,∴[f(x)]_max=f(e^1-a)=e^a-1,………………10分

∴f(x)的圖象g(x)=1的圖象在(0,e²]上有公共點，等價于e^a-1≥1，……………12分

兩邊以e底取對數可解得a≥1，故a的取值范圍是[1,+∞)……………………14分