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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

如下圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．求異面直線BE與CD所成角的余弦值．

[分析]　根據異面直線所成角的定義，我們可以選擇適當的點，分別引BE與DC的平行線，換句話說，平移BE(或CD)．設想平移CD，沿著DA的方向，使D移向E，則C移向AC的中點F，這樣BE與CD所成的角即為∠BEF或其補角，解△EFB即可獲解．

在正方體中，寫出過頂點A的一個平面_ _____，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況)。

在正方體中，寫出過頂點A的一個平面_________，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況)。