題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
在正三棱柱
中，底面邊長和側(cè)棱都是2，D是側(cè)棱
上任意一點．E是
的中點．
（1）求證： 平面ABD；
（2）求證： ；
（3）求三棱錐
的體積。
（本小題滿分12分）
在正三棱柱
中，
是
的中點，
在線段
上且
．
（1）證明
面
；（2）求二面角
的大小．
（本小題滿分12分）
在正三棱柱
中，
是
的中點，
在線段
上且
．
（1）證明
面
；（2）求二面角
的大小．
中，
，且
是
的中點，點
在
上.的位置，使
；時，求二面角
的大小.
中，底面邊長和側(cè)棱都是2，D是側(cè)棱
上任意一點．E是
的中點．
（1）求證： 平面ABD；
（2）求證： ；
的體積。一、
1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．C
11．D 12．A
【解析】
5．解：，則．
6．解：線性規(guī)劃問題可先作出可行域（略），設，則，可知在點（1，1）處取最小值，．
7．解：，由條件知曲線在點（0，1）處的切線斜率為，則．
8．解：如圖
正四棱錐中，取中點，連接、，易知就是側(cè)面與底面所成角，面，則．
9．解：，展開式中含的項是，其系數(shù)是．
10．解：，其值域是．
11．解：，設離心率為，則，由知．
12．解：如圖
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正四面體中，是中心，連，此四面體內(nèi)切球與外接球具有共同球心，必在上，并且等于內(nèi)切球半徑，等于外接球半徑．記面積為，則，從而
．
二、填空題
13．．
解：，與共線．
14．120種．
解：按要求分類相加，共有種，或使用間接法：種．
15．．
解：曲線 ①，化作標準形式為，表示橢圓，由于對稱性，取焦點，過且傾角是135°的弦所在直線方程為：，即 ②，聯(lián)立式①與式②消去得：
，由弦長公式得：．
16．充要條件①：底面是正三角形，頂點在底面的射影恰是底面的中心．
充要條件②：底面是正三角形，且三條側(cè)棱長相等，
再如：底面是正三角形，且三個側(cè)面與底面所成角相等；底面是正三角形，且三條側(cè)棱與底面所成角相等；三條側(cè)棱長相等，且三個側(cè)面與底面所成角相等；三個側(cè)面與底面所成角相等，三個側(cè)面兩兩所成二面角相等．
三、解答題
17．解：設等差數(shù)列的公差為、、成等比數(shù)列，即，
，得或．
時是常數(shù)列，，前項和
時，的前項和
或．
18．解：，則，，．
由正弦定理得：
，
，則
．
19．解：已知甲擊中9環(huán)、10環(huán)的概率分別是0．3、0．2，則甲擊中8環(huán)及其以下環(huán)數(shù)的概率是0．5；乙擊中9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0．4、0．3，則乙擊中8環(huán)及其以下環(huán)數(shù)的概率是0．3；丙擊中9環(huán)、10環(huán)的概率是0．6、0．4，0．6+0．4=1，則丙擊中8環(huán)及其以下環(huán)數(shù)是不可能事件．
（1）記在一輪比賽中“丙擊中的環(huán)數(shù)不超過甲擊中的環(huán)數(shù)”為事件，包括“丙擊中9環(huán)且甲擊中9或10環(huán)”、“丙擊中10環(huán)且甲擊中10環(huán)”兩個互斥事件，則
．
（2）記在一輪比賽中，“甲擊中的環(huán)數(shù)超過丙擊中的環(huán)數(shù)”為事件，“乙擊中的環(huán)數(shù)超過丙擊中的環(huán)數(shù)”為事件，則與相互獨立，且，．
所以在一輪比賽中，甲、乙擊中的環(huán)數(shù)都沒有超過丙擊中的環(huán)數(shù)的概率為：
．
20．（1）證：已知是正三棱柱，取中點，中點，連，，則、、兩兩垂直，以、、為、、軸建立空間直角坐標系，又已知，
則．
，，則，又因與相交，故面．
（2）解：由（1）知，是面的一個法向量．
，設是面的一個法向量，則①，②，取，聯(lián)立式①與式②解得，則．
二面角是銳二面角，記其大小為．則
，
二面角的大小，亦可用傳統(tǒng)方法解決（略）．
21．解：．
（1）在處取得極值，則．
（2），
恒成立，必有解．
易知函數(shù)圖象（拋物線）對稱軸方程是．
在上是增函數(shù)，則時恒有，進而必有（數(shù)形結(jié)合）
或或，
故的取值范圍是：．
22．解：（1）已知，求得線段的兩個三等分點、，直線過時，，直線過時，，故或．
（2）已知是橢圓短軸端點和焦點，易求得橢圓方程是：，所在直線的方程為．
直線與橢圓相交于、，設，，由直線與線段相交（交點不與、重合）知．
點在橢圓上，則，解得到直線的距離
，
點到直線的距離；
設，則，由知，則：
，
當即時，取到最大值．
，0與中，0距更遠，當且時，
，
．
∴四邊形的面積，當時，．
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