題目列表(包括答案和解析)
（本大題滿分18分）本大題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿6分，第3小題滿8分.
已知集合
具有性質
：對任意
，
與
至少一個屬于
.
（1）分別判斷集合
與
是否具有性質，并說明理由；
（2）①求證：
；
②求證：
；
（3）研究當
和
時，集合中的數列
是否一定成等差數列.
（本題共3小題，滿分18分。第1小題滿分4分，第2小題滿分７分，第3小題７分）
對定義在
上，并且同時滿足以下兩個條件的函數
稱為
函數．
① 對任意的
，總有
；
② 當
時，總有
成立．
已知函數
與
是定義在上的函數．
（1）試問函數
是否為
函數？并說明理由；
（2）若函數
是函數，求實數
的值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數
，使方程
恰有兩解？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
上，并且同時滿足以下兩個條件的函數
稱為
函數．
，總有
；
時，總有
成立．
與
是定義在上的函數．
是否為
函數？并說明理由；
是函數，求實數
的值；
，使方程
恰有兩解？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。
已知
是公差為
的等差數列，
是公比為
的等比數列。
（1） 若
，是否存在
，有
說明理由； 
（2） 找出所有數列和，使對一切
,
,并說明理由；
（3） 若
試確定所有的
，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明。
（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分４分，第2小題滿分６分，
第3小題滿分8分．
已知數列
：
，
，
，
（
是正整數），與數列
：
，
，
，
，
（是正整數）．記
．
（1）若
，求
的值；
（2）求證：當是正整數時，
；
（3）已知
，且存在正整數
，使得在
，
，
，
中有4項為100．
求的值，并指出哪4項為100．
說明
1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標準的精神進行評分.
2. 評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱. 當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.
3. 第17題至第21題中右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的該題累加分數.
4. 給分或扣分均以1分為單位.
答案及評分標準
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．（理）
元；（文）0.7；
6．（理）
； （文）200赫茲； 7．（理）5； （文）p=4．
8．（理）
； （文）
9．
； 10．（理）
； （文）方程為
．
11．（理）
； （文）
； 12．12．
13――16：A； C ； C； 理B文A
17．設熊貓居室的總面積為
平方米，由題意得：
．… 6分
解法1：
，因為
，而當
時，取得最大值75． 10分
所以當熊貓居室的寬為
解法2：
=75，當且僅當
，即時，取得最大值75．
…… 10分
所以當熊貓居室的寬為
18．理：如圖，建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為
、
、
、
、
、
．
……2分
設平面
的法向量為
，則
，
．
因為
，
，
……3分
，
，
所以
解得
，取
，得平面一個法向量
，且
．
……5分
（1）在平面取一點
，可得
，于是頂點
到平面的距離
，所以頂點到平面的距離為
，
……8分
（2）因為平面
的一個法向量為
，設
與
的夾角為a，則
，
……12分
結合圖形可判斷得二面角
是一個銳角，它的大小為
．……14分
文：（1）圓錐底面積為
cm2，
……1分
設圓錐高為
cm，由體積
，
……5分
由
cm3得
cm；
……8分
（2）母線長
cm，
……9分
設底面周長為
，則該圓錐的側面積=
，
……12分
所以該圓錐的側面積=
cm2．
……14分
19．（理）（1）
；
……3分
（2）當
時，（
）
， ……6分
所以，
（
）．
……8分
（3）與（2）同理可求得：
，
……10分
設
=
，
則
，（用等比數列前n項和公式的推導方法）
，相減得
，所以
．
……14分
（文）（1）設數列前
項和為
，則
． ……3分
（2）公比
，所以由無窮等比數列各項的和公式得：
數列
各項的和為
=1．
……7分
（3）設數列
的前項和為，當為奇數時，
=
；
……11分
當為偶數時，
=
． ……14分
即
．
……15分
20．（1）
即
，又
，2分
所以
，從而
的取值范圍是
． ……5分
（2）
，令
，則
，因為
，所以
，當且僅當
時，等號成立，8分
由
解得
，所以當
時，函數
的最小值是
；
……11分
下面求當
時，函數的最小值．
當時，
，函數
在
上為減函數．所以函數的最小值為
．
[當時，函數在上為減函數的證明：任取
，
，因為
，
，所以
，
，由單調性的定義函數在上為減函數．]
于是，當時，函數的最小值是；當時，函數的最小值
．
……15分
21．（1）由
解得
；由
解得
．
由點斜式寫出兩條直線
的方程，
，
所以直線AB的斜率為
． ……4分
（2）推廣的評分要求分三層
一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）
例：1．已知
是拋物線
上的相異兩點．設過點且斜率為-1的直線
，與過點
且斜率為1的直線
相交于拋物線上的一定點P
，求直線AB的斜率；
2．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為-k 1的直線，與過點且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點P（4，4），求直線AB的斜率；
3．已知是拋物線
上的相異兩點．設過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P
，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．
二層:兩個一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）
例：4．已知點R是拋物線上的定點．過點P作斜率分別為
、
的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）
例如：5.已知拋物線
上有一定點P，過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
過點P（
），斜率互為相反數的直線可設為
，，其中
。
由
得
，所以
同理，把上式中換成得
，所以
當P為原點時直線AB的斜率不存在，當P不為原點時直線AB的斜率為
。
（3）（理）點
，設
，則
．
設線段
的中點是
，斜率為，則
=
．12分
所以線段的垂直平分線
的方程為
，
又點
在直線上，所以
，而
，于是
．
……13分
(斜率
，則
--------------------------------13分)
線段所在直線的方程為
，
……14分
代入，整理得
……15分
，
。設線段長為，則
=
……16分
因為
，所以
……18分
即：
．（
）
（文）設，則． ……13分
設線段的中點是，斜率為，則=，……15分
線段的垂直平分線的方程為， ……17分
又點在直線上，所以
，
而，于是
．故線段AB中點的橫坐標為
． ……18分
&n
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