Question

（本大題滿分18分）本大題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿6分，第3小題滿8分.

已知集合具有性質：對任意，與至少一個屬于.

（1）分別判斷集合與是否具有性質，并說明理由；

（2）①求證：；

②求證：；

（3）研究當和時，集合中的數列是否一定成等差數列.

 

Answer 1

【答案】

（1）集合不具性質．

（2）見解析；

（3）成等差數列．

【解析】本試題是由創新的試題，利用新定義的理解，分析現有的問題。并能結合數列的知識，求解數列是否為等差數列的判定問題的綜合運用。

（1）根據已知條件，對任意，與至少一個屬于，則滿足性質P，那么對于集合與分別利用定義判定可得。

（2）根據已知關系式得到① 

②。

，

進而求解和式。

（3）①當時，集合中元素一定成等差數列．

②當時，集合中元素不一定成等差數列如中0,1,2,3組成等差數列；中0,2,3,5不組成等差數列．③當時，成等差數列．

解：（1）對于集合：

∴集合具有． ……………………………………………………………2分

對于集合：

，

∴集合不具性質．………………………………………………………… 4分

（2）

① ……………………………… 6分

②

。

。

，

．………………………………………………………10分

（3）①當時，集合中元素一定成等差數列．

證明：當時，

∴．

即，又，∴．

故成等差數列．…………………………………………………………13分

②當時，集合中元素不一定成等差數列．  ………………14分

如中0,1,2,3組成等差數列；中0,2,3,5不組成等差數列．………………15分

③當時，成等差數列．

證明：當時，

　

又

。

成等差數列．……………………………………………………18分