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已知橢圓，、是其左、右焦點，橢圓上的任一點，△的重心為，內心為，且有．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過焦點的直線與橢圓交于、兩點，若△面積的最大值是，求橢圓的方程．

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已知橢圓，F₁，F₂分別為其左右焦點，橢圓上一點M到F₁的距離是2，N是MF₁的中點，則|ON|的長是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

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已知橢圓，F₁，F₂分別為其左右焦點，橢圓上一點M到F₁的距離是2，N是MF₁的中點，則|ON|的長是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

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已知橢圓，點在橢圓上，其左、右焦點為F₁、F₂．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若，過點的動直線l交橢圓于A、B兩點，請問在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個定點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：  DCABC CBBAC

二、填空題：11、； 12、23； 13、2； 14、4π； 15、

三、解答題：

16、解 （1）             1分

                             2分

由已知有            4分

                       6分

   （2）         10分

       =                      11分

       =                                12分

17、解：（1）設紅球有個，白球個，依題意得   1分

 ，       3分

解得                           

故紅球有6個．                       5分

（2）記“甲取出的球的編號大”為事件A，

   所有的基本事件有：(1，2)，(l，3)，(1，4)，

(2，1)，(2，3)，(2，4)，

(3，1)，(3，2)，(3，4)，

(4，1)，(4，2)，(4，3)，

共12個基本事件        8分

事件A包含的基本事件有：(1，2)，(1，3)，（1，4）（2，1），

（2，3），（3，1），（3，2）（4，1），

共8個基本事件         11分

所以，.                   12分

18、解：（1）底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∠ACB=90°，∴ AC⊥BC，  （2分）

又在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC底面ABC，∴CC₁⊥AC，（3分）

  BC、CC₁平面BCC₁，且BC 與CC₁相交

∴ AC⊥平面BCC₁； （5分）

而BC₁平面BCC₁

∴ AC⊥BC₁   （6分）

（2）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，∵ D是AB的中點，E是BC₁的中點，

∴ DE//AC₁，  （8分）

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴ AC₁//平面CDB₁；（10分）

（3）   （11分）

=-    （13分）

=20    （14分）

19、解：（1）設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為a,b,c,則有

,

由橢圓定義，有             ………1分

＝……………………………2分

       ＝   ……………………3分

      ≥        …………………………………………5分

     ＝＝             ……………………………………………6分

∴的最小值為。

（當且僅當時，即取橢圓上下頂點時，取得最小值 ）……………7分

（2）設的斜率為，

則，                  …………………………………………8分

                      …………………………………………9分

∴＝ 及  …………………………………………10分

則＝＝ 又…………………………………………12分

∴                     …………………………………………13分

故斜率的取值范圍為（）   …………………………………………14分

20、解：（1），……………………1分

即，

即，，         …………………………………………2分

∴為等差數列，                     …………………………………………3分

又，                        …………………………………………4分

∴，                 …………………………………………5分

∴      …………………………………………7分

（2）                  …………………………………………8分

當時，

…………………………………………11分

，

…………………………………………13分

的整數部分為18。   …………………………………………14分

21、解：（1）    ………（1分）

        由解得：    ………（2分）

        當或時，     ………（3分）

        當時，     ………（4分）

        所以，有兩個極值點：

        是極大值點，；      ………（5分）

        是極小值點，。   ………（6分）

     (2) 過點做直線，與的圖象的另一個交點為A，則,即   ………（8分）

         已知有解，則

          解得   ………（10分）

         當時，；        ………（11分）

         當時，，，

         其中當時，；………（12分）

          當時，　　　　……（13分）

   所以，對任意的，的最小值為（其中當時，）．……（14分）

     （以上答案和評分標準僅供參考，其它答案，請參照給分）