題目列表(包括答案和解析)
設函數
，且在點（
）處的切線垂直y軸。
（1）用a分別表示b和c；
（2）當bc取最小值時，求函數
的單調區間。
設函數
，且在點（
）處的切線垂直y軸。
（1）用a分別表示b和c；
（2）當bc取最小值時，求函數
的單調區間。
已知向量
，且
與
之間有關系式：
其中
。
（1）試用
表示
；
（2）求的最小值，并求此時a與b的夾角
的值。
設F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設
是曲線C上的點，且
成等差數列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標。
【解析】本試題主要是對于圓錐曲線的綜合考查。首先求解軌跡方程，利用向量作為工具表示向量的坐標，進而達到關系式的求解。第二問中利用數列的知識和直線方程求解點的坐標。
設橢圓E: 
（a,b>0）過M（2，
） ，N(
,1)兩點，O為坐標原點，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且
？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由。
【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，待定系數法求解，并且考查了圓與橢圓的位置關系的研究，利用恒有交點，聯立方程組和韋達定理一起表示向量OA,OB，并證明垂直。
一、ADBCC CCBBA DC
二、13. 
,
;14. 
；15. 
．16. 
三、
17.
解: (Ⅰ)由
, 
是三角形內角，得
……………..
∴ 
………………………………………..
…………………………………………………………6分
(Ⅱ) 在
中,由正弦定理，
，
…
, ,
由余弦定理得:
=
………………………………12分
18.
解：（I）已知
，
只須后四位數字中出現2個0和2個1.
…………4分
（II）
的取值可以是1，2，3，4，5，.
…………8分
的分布列是
1
2
3
4
5
P
…………10分
…………12分
（另解：記
.）
19.
證明： 解法一：（1）取PC中點M，連結ME、MF，則MF∥CD，MF=
CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四邊形AFME是平行四邊形，∴AF∥EM，∵AF
平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°， ………………………………………………………………(6分)
∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM
平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD內過F作FH⊥PC于H，則FH就是點F到平面PCE的距離. …………………………………(10分)
由已知，PD=
，PF=
，PC=
，△PFH∽△PCD，∴
，
∴FH=
.
………………………………………………………………(12分)
解法二：（1）取PC中點M，連結EM，
=
+
=
，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………(4分)
（2）以Ａ為坐標原點，分別以
所在直線為x、y、z
軸建立坐標系. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)
∴A(0, 0, 0),
P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E
, C(3, 2, 0)，
設平面PCE的法向量為
=(x, y, z)，則⊥
，⊥
，而=（-
，0，2），
=（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-
x，z=x. 取x=4
得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)
又
=（0，1，-1），
故點F到平面PCE的距離為d=
.…………(12分)
20.
解:1)函數
.又
,故
為第一象限角,且
.
函數
圖像的一條對稱軸方程式是: 
得
又
c為半點焦距，
由
知橢圓C的方程可化為
（1）
又焦點F的坐標為（
），AB所在的直線方程為
（2）
（2分)
（2）代入（1）展開整理得
（3）
設A（
），B（
），弦AB的中點N（
），則
是方程（3）的兩個不等的實數根，由韋達定理得
（4）
即為所求。 （5分）
2）
與
是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量
，有且只有一對實數
使得等式
成立。設
由1）中各點的坐標可得：
又點
在橢圓上，代入（1）式得
化為：
（5）
由（2）和（4）式得
又
兩點在橢圓上，故1有
入（5）式化簡得：
由
得到
又
是唯一確定的實數，且
，故存在角
，使
成立，則有
若
，則存在角
使等式
成立；若
由
與
于是用代換
，同樣證得存在角使等式：成立.
綜合上述，對于任意一點
，總存在角使等式：成立.
（12分）
21．解：(Ⅰ) 
所以函數
在
上是單調減函數.
…………………………4分
(Ⅱ)
證明:據題意
且x1<x2<x3,
由(Ⅰ)知f
(x1)>f (x2)>f (x3), x2=
…………………………6分
…………………8分
即ㄓ
是鈍角三角形……………………………………..9分
(Ⅲ)
假設ㄓ為等腰三角形，則只能是
即
①
…………………………………………
而事實上, 
②
由于
,故(2)式等號不成立.這與
式矛盾. 所以ㄓ不可能為等腰三角形..13分
22．
解：⑴∵
，又
，
為遞增數列即為，
當
時，
恒成立
，當
時，
的最大值為
。∴ 
。∴b的取值范圍是：
（6分）
⑵ 
①又 
②
①-②：
，
當
時，有
成立，
得
與
同號，于是由遞推關系得與
同號，因此只要
就可推導
。又
，又
，
即首項
的取值范圍是
（13分）
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