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天數(shù)t 病毒細(xì)胞總數(shù)N 1 2 3 4 5 6 7 … 1 2 4 8 16 32 64 … 講解 (1)由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時間n的函數(shù)為 , 則由學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈5:應(yīng)用型問題.files/image241.gif) 兩邊取對數(shù)得 n 27.5, 即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物. (2)由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為 , 再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為 , 由題意 ≤108,兩邊取對數(shù)得 ,
故再經(jīng)過6天必須注射藥物,即第二次應(yīng)在第33天注射藥物. 本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”,這對實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的. 例12 有一個受到污染的湖泊,其湖水的容積為V立方米,每天流出湖泊的水量都是r立方米,現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡,且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合,用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù),我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù),已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水,湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)=
+[g(0)- ]?e (p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù). (1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時,求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù); (2)求證:當(dāng)g(0)< 時,湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重; (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%? 講解(1)∵g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)- =0,
∴g(0)= . (2) 我們易證得0<t1<t2, 則 g(t1)-g(t2)=[g(0)- ]e -[g(0)- ]e =[g(0)- ][e -e ]=[g(0)- ] , ∵g(0)? <0,t1<t2,e >e , ∴g(t1)<g(t2) . 故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時間變化而增加,污染越來越嚴(yán)重. (3)污染停止即P=0,g(t)=g(0)?e ,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)? ∴ =e ,∴t=
ln20, 故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%. 高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.
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