在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為的正三角形，點A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中點。

    （Ⅰ）求證：A₁A⊥BC；

    （Ⅱ）當側棱AA₁和底面成45º角時，求二面角A₁-AC-B的大小

    （Ⅲ）若D為側棱A₁A上一點，當為何值時，BD⊥A₁C₁。

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，點A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中點．
（1）求證：A₁A⊥BC；
（2）當側棱AA₁和底面成45°角時，求二面角A₁-AC-B的余弦值．