題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍；
(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
（本小題滿分12分）
已知函數f(x)＝－x3＋x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝3，試確定函數f(x)的單調區間；
(2)若函數f(x)在其圖象上任意一點(x0，f(x0))處切線的斜率都小于2a2，求a的取值范圍．
（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍；
(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
（本小題滿分12分）已知函數f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－
與x＝1時都取得極值.
（1）求a、b的值與函數f（x）的單調區間;
（2）xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍.
一、選擇題
1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．A
二、填空題
11．148 12．－4 13．
14．－6 15．①②③④
三、解答題
16．解：⑴
＝
＝
＝
＝
3分
＝
＝1＋1＋2cos2x
＝2＋2cos2x
＝4cos2x
∵x∈[0，
] ∴cosx≥0
∴
＝2cosx 6分
⑵ f (x)＝cos2x－
?2cosx?sinx
＝cos2x－sin2x
＝2cos(2x＋
) 8分
∵0≤x≤ ∴
∴
∴
∴
，當x＝時取得該最小值
，當x＝0時取得該最大值 12分
17．由題意知，在甲盒中放一球概率為
，在乙盒放一球的概率為
3分
①當n＝3時，x＝3，y＝0的概率為
6分
②|x－y|＝2時，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3
它的概率為
12分
18．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC
又∵PB⊥BC ∴BC⊥面PAB ∴BC⊥PA
同理CD⊥PA ∴PA⊥面ABCD 4分
⑵在AD上取一點O使AO=AD，連接E，O，
則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD 過點O做
OH⊥AC交AC于H點，連接EH，則EH⊥AC，
從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角 6分
在△PAD中，EO＝AP＝
在△AHO中∠HAO＝45°，
∴HO＝AOsin45°=
，∴tan∠EHO＝
，
∴二面角E－AC－D等于arctan
8分
⑶當F為BC中點時，PF∥面EAC，理由如下：
∵AD∥2FC，∴
，又由已知有
，∴PF∥ES
∵PF
面EAC，EC
面EAC ∴PF∥面EAC，
即當F為BC中點時，PF∥面EAC 12分
19．⑴f '(x)＝3x2＋2bx＋c，由題知f '(1)＝0
3＋2b＋c＝0，
f (1)＝－11＋b＋c＋2＝－1
∴b＝1，c＝－5 3分
f (x)＝x3＋x2－5x＋2，f '(x)＝3x2＋2x－5
f (x)在[－
，1]為減函數，f (x)在(1，＋∞)為增函數
∴b＝1，c＝－5符合題意 5分
⑵即方程：
恰有三個不同的實解：
x3＋x2－5x＋2＝k(x≠0)
即當x≠0時，f (x)的圖象與直線y＝k恰有三個不同的交點，
由⑴知f (x)在
為增函數，
f (x)在
為減函數，f (x)在(1，＋∞)為增函數，
又
，f (1)＝－1，f (2)＝2
∴
且k≠2 12分
20．⑴∵
∴
3分
∴{an－3n}是以首項為a1－3＝2，公比為－2的等比數列
∴an－3n＝2?(－2)n－1
∴an＝3n＋2?(－2)n－1＝3n－(－2)n 6分
⑵由3nbn＝n?(3n－an)＝n?[3n－3n＋(－2)n]＝n?(－2)n
∴bn＝n?(－)n 8分
令
∴
∴
∴
＜6
∴m≥6 13分
21．⑴設M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，P(x，y)
AM：y＝
�、�
BN：y＝
�、�
聯立①② ∴
4分
∵點M(xo，yo)在圓⊙O上，代入圓的方程：
整理：y2＝－2(x＋1) (x＜－1) 6分
⑵由
設S(x1、y1)，T(x2、y2)，ST的中點坐標(x0、y0)
則x1＋x2＝－(3＋
)
x1x2＝
8分
∴
中點到直線
的距離
∴
故圓與x＝－
總相切． 14分
⑵另解：∵y2＝－2(x＋1)知焦點坐標為(－
，0) 2分
頂點(－1，0)，故準線x＝－ 4分
設S、T到準線的距離為d1，d2，ST的中點O'，O'到x＝－的距離為
又由拋物線定義：d1＋d2＝|ST|，∴
故以ST為直徑的圓與x＝－總相切 8分
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