在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，F是DD₁的中點，
（1）求點A到平面A₁DE的距離；
（2）求證：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

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在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，F是DD₁的中點，
（1）求點A到平面A₁DE的距離；
（2）求證：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

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一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算．  每題5分，滿分50分

   1.B    2.D   3.A   4.B   5.C   6.A    7.C    8.B    9.B     10.D

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算．  每題4分，滿分20分．

   11. 5      12.       13. 0.36     14. 64       15. 2：0

三、解答題：本題共6大題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16. 本題主要考查三角函數性質、三角恒等變換等基本知識，考查推理和運算能力．滿分13分。

  解：（Ⅰ）

（2）

17. 本題主要考查線面平行與垂直關系，及多面體的體積計算等基礎知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力．同時也可考查學生靈活利用圖形，建立空間直角坐標系，借助向量工具解決問題的能力。滿分13分。

   解：（1）證明：EF 分別是DD1 DA1的中點， EF A1D1

又 A1D1 B1C1 BC   EF BC 且EF 平面A1BC ,BC 平面A1BC

EF 平面A1BC

(2) 法一： AB AD AA1兩兩垂直，以AB所在直線為

軸，以 AD所在直線軸，以AA1所在直線為 軸，建立空間直角坐標系如圖，設BC=1

則 設平面A1CD的法向量

18.本題主要考查頻率分布直方圖、隨機變量的分布列及數學期望等概率與統計的基礎知識，考查運算求解能力、數據處理能力、分析與解決問題能力及必然與或然的數學思想、應用意識等。滿分13分。

解：（1）設任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業、優秀企業的概率分別是p_1、p_2、p_3、p₄

則根據頻率分布直方圖可知：

(2) 設整改后，任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業的概率分別為

,

19.本題主要考查向量、直線、拋物線等基礎知識及軌跡的求解方法，考查函數與方程思想、分類與整合思想及運算求解能力、探究能力、分析問題和解決問題的能力。滿分13分

解：（1）

（2）

20. 本題主要考查二次函數及其性質、導數的基本知識，幾何意義及其應用，同時考查考生分類討論思想方法及化規的能力：

解：（1）依題意設，由（為邊上的高）。

或3，

或（或討論與）。

或依題意或3，其它同上

（2）當時，

令得，或

不是極值點，是極值點，

因此，函數的極小值為，極大值不存在。

（3）對于，由及，得，不合題意，舍去，

只能

對恒成立，

又，

數列是首項為3，公比為2的等比數列，

，

為所求。

或

21.（1）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想。

解：由已知得，矩陣

它所對應的變換為

解得，把它代入方程為得

即經過矩陣的變換后的曲線方程。

（也可先計算再求曲線方程，可相應給分）

（2）本題主要考查直線和橢圓的極坐標與參數方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想。

解：由可化為直角坐標方程

參數方程為（為對數）可化為直角坐標方程

聯立（1）（2）得兩曲線的交點為

所求的弦長

（3）本題主要考查利用柯西不等式證明不等式，考查推理論證能力。

證明：左邊

。