題目列表(包括答案和解析)
| 3 |
A、2
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
．如果二面角α-AB-β=60°，那么A、B兩點的球面距離為（ ）
π
π
．如果二面角α-AB-β=60°，那么A、B兩點的球面距離為（ ）
π
π
已知A、B是球O表面上兩點，AB=8．過AB作兩個平面α、β，使球心O在平面α上，且O到平面β的距離為2
．如果二面角α—AB—β=60°，那么A、B兩點的
球面距離為 （ ）
A．
B．
C．
D．
已知A、B是球O表面上兩點，AB=8．過AB作兩個平面α、β，使球心O在平面
α上，且O到平面β的距離為2
．如果二面角α—AB—β=60°，那么A、B兩點間的球面距離為 （ ）
A．
B．
C．
D．
一、選擇題
1．D 集合A表示函數y=
的定義域，A=
，B表示函數y=的值域， B=
，所以A∩B=[0，2]．
說明：本題考查函數的定義域、值域、集合的表示法及集合的運算.認識一個集合主要從以下兩個方面入手：⑴集合中的元素是什么？⑵集合中都有哪些元素.
2．C由cos130°=cos(180°-50°)= -cos50°=a，得cos50°=-a.
于是sin50°=
,所以tan50°=
.
說明：本題考查誘導公式、三角函數的符號及同角三角函數的關系.
3．D ∵an+1-an=-2，∴數列{an}是首項為1，公差為-2的等差數列，an=a1+(n-1)d=3-2n，a100=-197.
說明：本題考察等差數列的定義及通項公式．
4．（理科）A∵z1=
=1+i，z2=1+(2i)5=1+32i，∴A（1，1）、B（1,32）.
因此
=1×1+1×32=33.
說明：本題考查復數運算，復數的幾何意義及向量數量積的坐標運算．揭示了復數、向量、坐標三者的聯系.
（文科）A 圓心O（0，0）到直線4x+3y-5=0的距離為d=
=1，圓的半徑為2，設弦AB的中點為C，則∠AOC=60°，∠AOB=120°.=2×2×cos120°=-2.
說明：本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式及向量的數量積運算．本題也可以把直線與圓的方程聯立消元，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算求解，但運算量較大.在解答與圓有關的問題時，要多利用圓的幾何特性.
5．(理科) C f(x)=2xln(-x) (x<-1)，g(x)=2 ln(-x)+2x
=2 ln(-x)+2 (x<-1) . g(x)的值域是y>2，反解得 -x=
( y>2)，g-1(x)=-
( x>2)，故選C.
說明：本題考查導數的運算公式、對數基本公式、指對數互化及反函數的求法.
(文科) C 函數y=+2(x>2)的值域為（3，+∞），反解得x=2ln(y-2)+2(y>3).所求的反函數為y=2ln(x-2)+2=
ln(x-2)2+lne2= ln(ex-2e)2 (x>3)，故選C.
說明：本題考查對數基本公式、指對數互化及反函數的求法.
6．B 解法1：如圖
，
，|
|=2，
點P的軌跡是以O為圓心，以2為半徑的圓.
解法2：設
則
=（-1-x，-y），
=（1-x，-y）
，
即
，軌跡為圓.
說明：本題考查向量加法的幾何定義，向量加法的坐標運算，橢圓的定義，圓的方程．
學生容易錯選A，這里要注意：
.
7．C不等式組
表示的平面區域（如圖）.
作直線l： x-2y＝0，平移l至點A(2，0)處時，z＝x-2y取得最大值2；至點B（
）處時，z＝x-2y取最小值
．
說明：本題考查線性規劃.要求做到準確作圖和計算.注意：本題可以不求直線x-y+1=0及x+y=2的交點B的坐標.通過點（0，1）及點（0，2）處的目標函數值估算.
8．B 由圖象知a<0，c<0，
，得b<0.又圖象與x軸有兩個交點，所以，△=b2-4ac>0，解得
或
，但b<0，因此選B.
說明：本題考查二次函數的圖象和性質，考查數形結合的能力．
9．C把a換成平面α，把b換成平面β，得到命題：“α∥β，α⊥c
β⊥c”，是真命題．把a換成平面α，把c換成平面γ，得到命題：“α∥b，α⊥γb⊥γ”，是假命題．把b換成平面β，把c換成平面γ，得到命題：“a∥β，a⊥γβ⊥γ”，是真命題．把a換成平面α，把b換成平面β，把c換成平面γ，得到命題：“α∥β，α⊥γβ⊥γ”，是真命題．
說明：本題考查空間線線、線面、面面的平行及垂直關系．要求學生準確寫出四個命題，并加以判斷，考查的知識面較寬.
10．B兩條準線間的距離為d=
=4b.
等號成立的條件是：
，即b=c.此時a=
c，e=
.
說明：本題考查橢圓的性質及均值不等式．此題表明，橢圓短軸長不變時，兩準線間的距離有最小值．
11．C f(x)=x3cos（3x+
）=-x3 sin3x.∵y=x3和y=sin3x都是奇函數，且在（
）上都是增函數，∴f(x) =-x3 sin3x是偶函數，且在（）上是減函數．
說明：本題考查誘導公式，函數奇偶性的判定及函數的單調性．利用基本函數的性質去判斷復雜函數的性質是研究函數時常用的手法.對復雜的函數關系式，有時需要先做變形處理.
12．A 如圖，作OO1⊥β，O1為垂足，取AB中點C，連接OC，O1C，則OC⊥AB，O1C⊥AB，∠O1CO是二面角α―AB―β的平面角，所以∠O1CO=60°.在Rt△OO1C中，OO1=2
，OC=
=4.
連接OA、OB，由OC=AC=BC=4得∠AOB=.又球的半徑OA=4，所以A、B兩點間的球面距離為4×=
.
說明：本題考查球的截面及性質，球面距離，二面角等知識，考查學生的空間想象能力.求球面上兩點間的球面距離時，必須先
找出這兩點對球心所張的圓心角．
二、填空題
13．（理科）20 在3分線內、外進球數分別記為ξ1、ξ2，得分記為ξ．則ξ=2ξ1+3ξ2，
ξ1~B(10，0.7)，ξ2~B(5，0.4)，Eξ=2Eξ1+3Eξ2=2×10×0.7+3×5×0.4=20.
說明：本題考查隨機變量的分布、二項分布.
（文科）
拋物線方程化為y=
，y’=
x. l1、l2的斜率分別為x1、x2，由l1⊥l2得x1x2=-4.符合條件的只有(-4,1)、(-2,2)、(-1,4)三中情況，所以l1⊥l2的概率為
.
說明：本題考查導數的幾何意義、直線垂直條件及等可能事件的概率.
14．7 ∵展開式中只有第5項的二項式系數最大，∴展開式共有9項， n=8.
由Tr+1=
，令
，得r=6，
∴含x-1的項是第r+1=7項，屬于基本題型．
說明：本題考查二項式定理知識．
15．60° 解法1：直線l：y=（x-c）與右準線x=
的交點坐標為P（，
），因為點P在漸近線y=
x上，所以=×，即
．漸近線y=
的傾斜角為30°.因此,兩條漸近線的夾角為60°.
解法2：根據雙曲線的幾何性質，OP⊥PF，由l的傾斜角為60°，可得∠POF=30°，因此,兩條漸近線的夾角為60°.
說明：本題考查雙曲線的幾何性質．注意：由雙曲線的焦點作漸近線的垂線，垂足就是準線與該漸近線的交點.
16．30 第一類：已知PA、PD、PO中的任意兩條，可編
=3種
題目；第二類：已知PA、PD、PO中的一條和AO、AD、OD
中的一條，可編
×=9種題目；第三類：已知6條線段中的
一條和3個角中的一個，可編
×=18種題目.一共可以編制
3+9+18=30種不同類型的題目.
說明：本題依托正棱錐，考查排列組合知識．通過解答此題，學
生不但訓練了排列組合知識，而且了解了正棱錐題目的編制方法.
三、解答題
17．解：（Ⅰ）由sinA+cosA=平方得sin2A=1，
∵0°<2A<180°，∴2A=90°，A=45°. …………………………2分
由sinB-cosB=sin(B-45°)=
得 sin(B-45°)=
.
∵0°<B<135°,-45°<B-45°<90°，∴B-45°=60°，B=105°. …………4分
∴C=180°-(45°+105°)= 30°.
………………………………5分
（Ⅱ）由
得AB=BC×
= …………………………7分
又sinB=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=
………9分
∴△ABC的面積S=BA×BC×sinB=×
=
…10分
說明：本題考查三角恒等變形、解斜三角形等基礎知識，考查運算能力．就三角函數來說，本題有一定的綜合性，對運算的準確性要求較高．
18．解：（Ⅰ）對于圖1的串聯電路， D=
……………………………………2分
對于圖2的并聯電路，
表示電路不通，所以 D=
（或D=
或D=
）（只要求寫出一種情況）
………………………………………4分
對于圖3的混聯電路，D=
（或
或
），（只要求寫出一種情況）
………………………………………6分
（Ⅱ）因為事件A、B、C是相互獨立的，所以：
對于串聯電路， P（D）=P（）=0.9×0.8×0.7=0.504 ………………8分
對于并聯電路， P（D）=1-P（）=1-0.1×0.2×0.3=0.994 …………10分
對于混聯電路， P（D）=P（
）P（
）=0.9×(1-0.2×0.3)=0.846.
由此看出，并聯可靠性最大.家用照明電路應采用的是并聯. ………………12分
說明：本題考查相互獨立事件、互斥事件和對立事件的概率.題目取材串并聯電路．因為許多概率問題都可以用串、并、混聯電路作模型.第一問讓學生寫出事件間的關系，雖然高考一般不這樣命題，但是，做此訓練對理解“同時發生”、“互斥事件”、“對立事件”等概念是有好處的.現在學生解答概率題，往往只注意代數計算，而不注意事件間的關系.
19．解法1：（Ⅰ）分別取AD、BC中點M、N，連結PM交EF于G，連接PN、GN、MN.
則PM⊥AD，MN⊥AD.∠PMN是側面與底面所成的二面角的平面角.
故∠PMN=60°，△PMN是等邊三角形. ………………………………………2分
設AC與MN的交點為O，連結OE，則OE∥PC，
∠ BEO是PC與BE所成的角. ………………4分
∵PO⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，從而BO⊥OE，
AB=4，則OB=2，OE=
，
tan∠BEO=
，
BE與PC所成的角為arctan；
……………6分
（Ⅱ）過O作OH⊥GN于H，連接CH.
∵BC⊥MN，BC⊥PN，MN∩PN=N，
∴BC⊥平面PMN. …………………8分
∴平面BCFE⊥平面PMN.
∴OH⊥平面BCFE.
∠OCH是直線AC與平面BCFE所成的角. ………………………………10分
在Rt△OCH中，OH=MG=1，OC=2， sin∠OCH =
.
因此AC與平面BCFE所成的角為arcsin
. ……………………………12分
解法2：同方法一，得PN=PM=MN. …………………………2分
建立空間直角坐標系如圖，則A（2，-2，0），B（2，2，0），C（-2，2，0），
P（0，0，2），E（1，-1，），M（0，-2，0）. ……………………3分
（Ⅰ）
（-1，-3，），
（-2，2，-2），
設BE與PC所成的角為θ，
則cosθ=
= 
.
BE與PC所成的角為arccos；………………6分
（Ⅱ）
是平面BCFE的一個法向量， 
（0，-2，-2），……8分
=（-4，4，0）. ……………………………………………………………9分
設AC與平面BCFE所成的角為α，則sinα=
= .
AC與平面BCFE所成的角為arcsin.
………………………………12分
說明：本題考查正棱錐的性質，異面直線所成的角，線面角，二面角，線面垂直的判定與性質，面面垂直的判定與性質.考查學生的空間想象能力和思維能力以及用空間向量解決立體幾何問題的思想方法．
20．解：（理科）函數的定義域為（0，+∞）.
f¢(x)=aeaxlnx+eax×
= eax（alnx+）.
……………………………2分
當a=0時,f(x)=lnx在（0，+∞）上是增函數； ……………………………3分
當a<0時，∵
，
，∴
，
又∵eax >0，∴當x
+∞時，f¢(x)<0，與f(x)在（0，+∞）上遞增矛盾；
……………………………5分
當a>0時，設g(x)= alnx+，則g’(x)=
.
當0<x<
時，g’(x)<0，當x>時，g’(x)>0，所以g(x)在x=時取得最小值，g(x)的最小值為g()=-alna+a=a(1-lna). ……………………8分
若a<e，則g()>0，從而f¢(x)>0，f(x)在（0，+∞）上是增函數；若a=e，則g()=0，其余各點處，g(x)>0，從而f¢(x)≥0（僅在x=時取等號），f(x)在（0，+∞）上是增函數；若a>e，則g()<0，從而f¢()<0，與f(x)在（0，+∞）上遞增矛盾.
……………………………11分
綜上所述，a的取值范圍是[0，e]. ……………………………12分
說明：本題考查用導數研究函數性質的方法及不等式的基本知識，考查思維能力和分
類討論的能力．已知函數的單調性，去研究參數的取值范圍，是常見的題型，通常都轉化為不等式恒成立問題，本題也可以轉化為alnx+≥0在（0，+∞）上恒成立問題，由于lnx的符號不定，所以用分離參數的方法并不簡單.
（文科）（Ⅰ）f¢(x)＝x2-(a+1)x+a＝(x-a)(x-1)． ……………………………2分
當a=1時，f¢(x)＝(x-1)2≥0, f(x)的單調遞增區間是（-∞，+∞）；………………3分
當a<1時，f¢(x)>0的解集是（-∞，a）∪（1，+∞），f(x)的單調遞增區間是（-∞，a）和（1，+∞），單調遞減區間是（a，1）；………………………………………… 5分
當a>1時，f¢(x)>0的解集是（-∞，1）∪（a，+∞），f(x)的單調遞增區間是（-∞，1）和（a，+∞），單調遞減區間是（1，a）.………………………………………… 6分
（Ⅱ）解法1：∵f(x)=
x[2x2-3(a+1)x+6a]有一個根是0， …………………… 7分
∴f(x)有三個不等實根等價于方程2x2-3(a+1)x+6a=0有兩個不等于0的相異實根.
由此得△=9(a+1)2-48a>0且a≠0，解得a>3或a<
且a≠0. ……………11分
∴a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，）∪（3，+∞）.
……………12分
解法2：由（Ⅰ）知，當a=1時，f(x)在（-∞，+∞）上遞增，f(x)=0只有一個實根；
當a<1時，f極大=f(a)=a2(3-a)，f極小=f(1)= (3a-1)，由f(x)=0有3個實根知
a2(3-a)>0且(3a-1)<0，解得a<且a≠0;
…………………… 9分
當a>1時，f極大= f(1)=(3a-1)，f極小= f(a)=a2(3-a)，由f(x)=0有3個實根知
a2(3-a)<0且(3a-1)>0，解得a>3; …………………… 11分
綜上：a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，）∪（3，+∞）. …………………12分
說明：本題考查用導數研究函數性質的方法及不等式的基本知識，考查思維能力和分類討論的能力．把解含參不等式與導數結合，是常見的題型．第（Ⅱ）問的方法1是抓住了方程的特殊性，比較簡單.方法2體現了方程與函數的聯系，具有普遍性.
21．解：（Ⅰ）由a1=S1=2-3a1得a1=， ……………………………1分
由Sn=2-(
+1)an得Sn-1=2-(
+1)an-1，
于是an=Sn- Sn-1=(+1)an-1-(+1)an，
整理得 
=×
（n≥2）,
……………………………3分
所以數列{}是首項及公比均為的等比數列. ……………………………4分
（Ⅱ）（理科）由（Ⅰ）得=×
=
. ……………………………5分
于是 2nan=n，Tn=1+2+3+…+n=
，
……………………………6分
，
An=2[（1-）+（-）+…+
=2（1-
）=
.
……………………………8分
又
=
,問題轉化為比較與的大小,即
與
的大小.
設f(n)= ，g(n)= .
∵f(n+1)-f(n)=
，當n≥3時, f(n+1)-f(n)>0,
∴當n≥3時f(n)單調遞增， ……………………………10分
∴當n≥4時，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)<1, ∴當n≥4時f(n) >g(n)，
經檢驗n=1,2,3時，仍有f(n) ≥g(n)，因此，對任意正整數n，都有f(n) >g(n),
即An <.
……………………………12分
說明：本題全面考察等比數列、等差數列、裂項求和及數列不等式的有關知識．題目入口簡單，既考查數列的基礎知識，又考查學生分析問題和解決問題的能力.第（Ⅱ）問通過函數的單調性比較大小，體現了函數與數列的聯系.學生也可以用數學歸納法解答.
（文科）（Ⅰ）由a1=S1=2-3a1得a1=，
……………………………1分
由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1，
…………………………2分
于是an=Sn- Sn-1=(+1)an-1-(+1)an，
整理得 =×（n≥2）, …………………………5分
所以數列{}是首項及公比均為的等比數列.
…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
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