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已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點F的最大距離為5；
（1）求橢圓的方程；
（2）設過右焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點，且線段AB的中點M在直線l：x=t（t＞2）上的射影為N，若，求t的取值范圍．

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已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），OH⊥AB于H點．試求點H的軌跡方程．

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已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，M是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線MA交直線l：x=9于G點，直線MB交直線l于H點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求以GH為直徑的圓是否恒經過x軸上的定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

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已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，M是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線MA交直線l：x=9于G點，直線MB交直線l于H點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求是否為定值？若是，求出此定值，若不是說明理由．

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數   學（理科）    2009.4

一、選擇題：本大題共有10小題，每小題5分，共50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

B

B

A

C

C

B

B

二、填空題：本大題共有7小題，每小題4分，共28分．

11． －1   12． 110   13． 78   14．  15．  16． 7   17．

三．解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

18．（Ⅰ）解：．……………………… 4分

由，解得 ．

所以函數的單調遞增區間為 ．…………… 7分

（Ⅱ）解：由，得．故．……………… 10分

于是有 ，或，

即或．因，故．……………… 14分

19．（Ⅰ）解：恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形：

開心心，心開心，心心開，心心樂．

則恰好摸到2個“心”字球的概率是

．………………………………………6分

（Ⅱ）解：，

則 ，，

．…………………………………………10分

故取球次數的分布列為

1

2

3

．…………………………………………………14分

20．（Ⅰ）解：因在底面上的射影恰為B點，則⊥底面．

所以就是與底面所成的角．

因，故 ，

即與底面所成的角是．……………………………………………3分

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則

，

，．

則，

故與棱BC所成的角是．…………………………………………………7分

（Ⅱ）解：設，則．于是

（舍去），

則P為棱的中點，其坐標為．…………………………………………9分

設平面的法向量為，則

，故．…………………11分

而平面的法向量是，

則，

故二面角的平面角的余弦值是．………………………………14分

21．（Ⅰ）解：由題意知：，，，解得．

故橢圓的方程為．…………………………………………………5分

   （Ⅱ）解：設，

⑴若軸，可設，因，則．

由，得，即．

若軸，可設，同理可得．……………………7分

⑵當直線的斜率存在且不為0時，設，

由，消去得：．

則．………………………………………9分

．

由，知．

故 ，即（記為①）．…………11分

由，可知直線的方程為．

聯立方程組，得 （記為②）．……………………13分

將②代入①，化簡得．

綜合⑴、⑵，可知點的軌跡方程為.………………………15分

22．（Ⅰ）證明：當時，．令，則．

若，遞增；若，遞減，

則是的極（最）大值點．于是

，即．故當時，有．………5分

（Ⅱ）解：對求導，得．

①若，，則在上單調遞減，故合題意．

②若，．

則必須，故當時，在上單調遞增．

③若，的對稱軸，則必須，

故當時，在上單調遞減．

綜合上述，的取值范圍是．………………………………10分

（Ⅲ）解：令．則問題等價于

        找一個使成立，故只需滿足函數的最小值即可．

        因，

而，

故當時，，遞減；當時，，遞增．

于是，．

與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的．……………………15分