Question

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），OH⊥AB于H點．試求點H的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要求橢圓方程，只需求出a，b的值，由橢圓的離心率為，知，，由橢圓上的點到焦點的最小距離為1，可知，a-c=1，再根據a²=b²+c²，就可求出a，b得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）設出A，B點的坐標，直線l方程，再令直線l方程與橢圓方程聯立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根據且OA⊥OB（O為坐標原點），OH⊥AB于H點．用x₁，x₂表示H點坐標，把參數消掉，即可得到點H的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意知：，a-c=1，a²=b²+c²，解得a=2，b²=3．
故橢圓的方程為．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若l⊥x軸，可設H（x，0），因OA⊥OB，則A（x，±x）．由，得，即．
若l⊥y軸，可設H（0，y），同理可得．
（2）當直線l的斜率存在且不為0時，設l：y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
則．．由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=0．故 ，即7m²=12（k²+1）（記為①）．
由OH⊥AB，可知直線OH的方程為．聯立方程組，得 （記為②）．將②代入①，化簡得．綜合（1）、（2），可知點H的軌跡方程為．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及消參法求軌跡方程，做題時應認真分析．