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2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于

 

．

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2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是我國以古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為

1

25

，大正方形的面積為1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么sin²θ-cos²θ的值為（　　）

A．1

B．- 24 25

C． 7 25

D．- 7 25

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1、B  2、B  3、D  4、D  5、A   6、D   7、B  8、C  9、A  10、B

11、12、13、14、15、16、-，0

17. 解：（1）∵，

∴，

∵，∴，∴，

∴。………………………………….6分

（2）∵，

，

∴，

∵，∴，∴，∴…….12分

18、的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為

依題意，，即，解得 所以三等品率最多為

19、(Ⅰ)證明：因為所以′(x)=x²+2x,

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

由點在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,

    又所以

    所以,又因為′(n)=n²+2n,所以,

    故點也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

當x變化時,?的變化情況如下表:

注意到,從而

①當,此時無極小值；

②當的極小值為,此時無極大值；

③當既無極大值又無極小值.

20、（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.

因為      E為BC的中點，所以AE⊥BC.

     又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  當AH最短時，∠EHA最大，

即     當AH⊥PD時，∠EHA最大.

此時    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2.

解法一：因為   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

        過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

        過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

       又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

       又    

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值為

21、（Ⅰ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，

直線的方程分別為，．??????????????????????????????????? 2分

如圖，設(shè)，其中，

且滿足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化簡得，

解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，

．??????????????????????????????????????????????????? 9分

又，所以四邊形的面積為

，

當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．?????????????????????? 12分

解法二：由題設(shè)，，．

設(shè)，，由①得，，

故四邊形的面積為

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，

當時，上式取等號．所以的最大值為．     12分

22、解法一：（Ⅰ），，，

又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的，有

．

取，

則．

原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設(shè)，

則

，

當時，；當時，，

當時，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．