題目列表(包括答案和解析)
（09年湖南師大附中月考文）(13分)
已知點
在橢圓
：
上，
、
分別為橢圓的左、右焦點，滿足
，
．
(1)求橢圓的離心率；
(2)若橢圓的長軸長為6，過點
且不與
軸垂直的直線
與橢圓相交于兩個不同點
、
，且
（
，且
）。在軸上是否存在定點
，使得
．若存在，求出所有滿足這種條件的點的坐標；若不存在，說明理由．（本小題滿分16分）
已知橢圓
：
的離心率為
，直線
：
與橢圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為
，右焦點為
，直線
過點且垂直與橢圓的長軸，動直線
垂直于直線于點
，線段
的垂直平分線交于點
，求點的軌跡
的方程；
（3）若
，
，
是上不同的點，且
，求實數
的取值范圍．
橢圓
的長軸長為4，焦距為2，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于點
，線段
垂直平分線交于點
（1）求橢圓
的標準方程和動點的軌跡
的方程。
（2）過橢圓的右焦點
作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，求
的面積。
（3）設軌跡與
軸交于點
，不同的兩點
在軌跡上，
滿足
求證：直線
恒過軸上的定點。
如圖，已知橢圓
與
的中心在坐標原點
，長軸均為
且在
軸上，短軸長分別為
，
，過原點且不與軸重合的直線
與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為
，
，
，
。記
，
和
的面積分別為
和
。
（I）當直線與
軸重合時，若
，求
的值；
（II）當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線，使得？并說明理由。
（本小題滿分16分）已知橢圓
：
的離心率為
，直線
：
與橢圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為
，右焦點為
，直線
過點且垂直與橢圓的長軸，動直線
垂直于直線于點
，線段
的垂直平分線交于點
，求點的軌跡
的方程.
1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A
9．
10．
25 11．
12．
或
者 13．21 14．3 15．
16．解：（1）
……………………………………………(3分)
∴
值域為
…………………………………………………………………(6分)
（不同變形參照給分）
（2）因為的周期為
∴
………………………………………………………………(8分)
∴
∴在
、
上單調遞增，
在
上單調遞減。…………………………………………………(12分)
17．解：按一、二、三等獎的順序，獲獎人數有三種情況：
，
，
…………………………………………………………(1分)
當獲獎人數為時，發獎方式有：
（種）…………………(3分)
當獲獎人數為時，發獎方式有：
（種）…………………(5分)
當獲獎人數為時，發獎方式有：
（種）…………………(7分)
(1)故恰有2人獲一等獎的概率為
……………………(9分)
(2)故恰有3人獲三等獎的概率為
……………………(11分)
答：(略)………………………………………………………………………(12分)
18．解：(1)證明：依題意知
，又∵平面
平面
，∴
平面
又
平面
，∴平面平面．……………………………(4分)
（2）解：∵
，………………………………………(6分)
設P、M到底面的距離分別為
、
，則
∴
，∴
為
中點。……………………………………………………(8分)
（3）∵
，
平面，
平面，∴
平面
…………………………………………………(10分)
若
平面，∵
，∴平面
平面
這與平面
與平面有公共點
矛盾
∴
與平面不平行……………………………………………………(12分)
(本題也可以用向量法解答)
19．解：（1）由
，得
，
兩式相減，得
，……………………………………………(3分)
所以數列
，
，
，…，
，…是以
為首項，3為公差的等差數列，
即數列
為等差數列； ……………………………………………(5分)
又因為
，
，
∴
∴數列
，
，
，…，
，…是以
為首項，3為公差的等差數列，
即數列
為等差數列． ……………………………………………………(7分)
（2）
……………………………………………………(10分)
∴
，∴
，
，
∵數列
是等差數列，∴
，
∴
，
解得：
，
（舍去）．……………………………………………(13分)
20．解（1）令
，
．
由題意得：
又
，所以
，
所以
…………………………………(4分)
（2）∵
，∴
，于是
，
∴
，
∴橢圓E的方程為
…………………………………………………(5分)
從而
，
設點M、N、G的坐標依次為
、
、
，
∵
，∴
，
∴
………………………………………………………………(7分)．
又
，
且
，
∴
即得
． ………………………………………………(9分)
又
，
故得
．……………………………………………(*)(10分)
因
不垂直于
軸，設直線的方程為
，與橢圓
：聯立得：
∵點
在橢圓內部，
∴直線必與橢圓有兩個不同交點．
方程有兩個不等實數根
，
則由根與系數的關系，得
，
，
代入（*）得
整理，得
，即
∴存在這樣的定點滿足題設．…………………………………………(13分)
21．解：（1）∵
，
∴
，即
。又
，
∴
即為
，
∴
∵
，∴
．
解得
，
又∵方程
，（）有兩根，∴
而
恒成立，
∴
的取值范圍是
．………………………………………………(6分)
（2）∵、是方程
的兩根即
的兩根為、
∴
，
∴
∵，∴當且僅當
，即
時，
取最小值．
即時，
最小． ………………………………………………(10分)
此時
，
，
令，得
，
，
∵
，∴、、
的變化情況如下表
ㄊ
極大 值
ㄋ
極小值
ㄊ
∴由表知：的極大值為
，極小值為
，由題知
。
解得
，此時
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