題目列表(包括答案和解析)
已知
若
.
（I）求函數
的最小正周期；
（II）若
求函數的最大值和最小值.
已知函數
的最小正周期為
，將其圖象向左平移
個單位得到函數．
的圖象．
（I）求函數
的單調遞增區間；
（II）求函數
在區間
上的最小值和最大值．
函數
的部分圖象如圖所示。
（I）求
的最小正周期及解析式；
（II）設
求函數
上的最大值和最小值
的部分圖象如圖所示。
的最小正周期及解析式；
求函數
上的最大值和最小值| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
說明：
一、本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如
果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準指定相應的評分細
則。
二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程
度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答
有較嚴重的錯誤，就不再給分。
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分60分。
1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分16分。
13．1 14．
15．5 16．8
三、解答題：本大題共6小題，滿分74分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。
17．本題主要考查平面向量的數量積，兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，滿分12分。
解：
（I）
………………………………………2分
即函數
的解析式為
?????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
??????????????????????????????????????? 6分
所以函數最小正周期
???????????????????????????????????????????????????? 8分
當
即
時
取最大值
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
使函數取最大值的
的集合為
???????????????????????????????? 12分
18．本題主要考查空間幾何體的直觀圖、三視圖，空間線面的位置關系等基礎知識；考察空間想象能力及推理論證能力，滿分12分。
解（I）由三視圖知這個多面體是一個水平放置的柱體，它的底面是邊長為
的正三角形，側棱垂直于底面且長為 2分
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）連結
四邊形
是平行四邊形，
過點
。
為的中點，………………………………………8分
又
是
的中點，
，
平面
平面
平面…………………………………………12分
19．本題主要考等差數列、數列求和等基礎知識：考查推理論證與運算求解能力；考查化歸與轉化思想，滿分12分。
解（I）點
在函數
的圖象上，
數列
是以首項為2公差為2的等差數列，???????????????????????????????????????? 2分
?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
，????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
???????????????????????? 10分
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．本題主要考查概率與統計的基礎知識，考查運算求解能力及應用意識。
滿分12分。
解：（I）設樣本容量為
，則
，所以
所以樣本的容量為120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）設成績在120分到150分的學生有個，
則
，所以
????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅲ）設成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的事件記為A，男生數與女生書記為數對（
），則基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），
（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），
（18，2），（19，1），（20，0），共16對????????????????????????????????????????????????? 9分
而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），
（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10對。
所以
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．本題主要考查利用導數研究函數的性質，考查運算求解能力及數形結合思想。滿分12分。
解：（I）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
依題意得
??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
等價于
???????????????????????????????????????????????????? 6分
①當
時恒成立，
的單調遞增區間為
?????????????????????????????????????????????????????????? 8分
②當
時，由得
的單調遞增區間為
?????????????????????????????????????????????????????? 11分
綜上所述：當時的單調遞增區間為；
當時，的單調遞增區間為???????????????????????????????????????? 12分
22．本題主要考查直線與橢圓的位置關系等基礎知識；考查運算求解能力及化歸與轉化思想。滿分14分。
解：（I）設橢圓E的方程為
由已知得：
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
橢圓E的方程為
?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）設
，線段
中點
的坐標為
，則：
由
得
化簡得：
……5分
直線
過點
而點在橢圓E內，
?????????????????????????????????????????????????????????? 6分
所以PQ中垂直
的方程為：
所以直線在
軸上的截距
??????????????????????????????????????? 8分
??????????????????????????????????????????????????????????? 9分
（Ⅲ）假設存在符號條件的點
，則由（Ⅱ）得：
????????????????????????????????????????????????? 10分
????????????????????????? 11分
所以
?????????????????????????????????????????? 12分
設
即
對于任意實數
，上式恒成立，
所以
????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
得
所以符合條件的點
存在，其坐標為
???????????????????????????????????????????? 14分
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