題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ln(x+1)－x．
⑴求函數f(x)的單調遞減區間；
⑵若
，證明：
．
(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝x3＋x2－2.
(1)設{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1＝3.若點(an，an＋12－2an＋1)(n∈N*)在函數y＝f′(x)的圖象上，求證：點(n，Sn)也在y＝f′(x)的圖象上；
(2)求函數f(x)在區間(a－1，a)內的極值．
(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－2k2＋4，若f(x)的單調減區間為(0,4)．
(1)求k的值；
(2)對任意的t∈[－1,1]，關于x的方程2x2＋5x＋a＝f(t)總有實根，求實數a的取值范圍．
(本小題滿分12分)
已知函數f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定義域；
(2)在函數y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸；
(3)當a，b滿足什么條件時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
(本小題滿分12分)
已知函數f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
（1）當a＝時，判斷證明f(x)的單調性并求f(x)的最小值；
（2）(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>1恒成立，試求實數a的取值范圍．
一、選擇題
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空題
11．真 12．
13．
14．2＋
15．－2
三、解答題
16．⑴∵
1分
＝
3分
又由
得
∴
5分
故
，f (x)max＝1＋2×1＝3 6分
⑵
＜2在上恒成立
時
9分
結合⑴知：
故m的取值范圍是（1，4） 12分
17．⑴連結AC，△ABC為正△，又E為BC中點，∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD
故AD為PD在平面ABCD內的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。 4分
⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角 5分
而tan∠AHE＝
故當AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大
6分
令AB＝2，則AE＝，此時
∴AH＝
，由平幾知識得PA＝2 7分
因為PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD
過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC
過O作OS⊥AF于S，連結ES，則∠ESO
為二面角E―AF―C的平面角 9分
在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝
，AO＝AE?cos30°＝
又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝
又SE＝
，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝
即所求二面角的余弦值為
12分
注：向量法及其它方法可參照給分。
18．⑴P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.6 3分
⑵隨機變量ξ、η的分布列如下：
ξ
5
2.5
η
2.5
1.5
P
0.68
0.32
P
0.6
0.4
Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1 7分
⑶由題設知
目標函數為z＝xEξ＋yEη＝4.2x＋2.1y 9分
作出可行域（如圖）：
作直線l：4.2x＋2.1y＝0，將l向右上方平移到l1位置時
直線經過可行域上的M點與原點距離最大
此時Z＝4.2x＋2.1y取得最大值，又M(4，4)
即x＝y＝4時，z取最大值25.2。 12分
19．⑴由題設及平面幾何知識得
∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線右支由
，
∴b2＝c2－a2＝5，故所求P點的軌跡方程為
3分
⑵易知直線x?my?3＝0恒過雙曲線焦點B(3，0)
設該直線與雙曲線右支相交于D(xD，yD)，E(xE，yE)由雙曲線第二定義知
，又a＝2，c＝3，
∴e＝則
5分
由|DE|＝5，得
，從而易知僅當m＝0時，
滿足|DE|＝5
故所求m＝0 7分
⑶設P(x，y)，P1(x1、y1)，P2(x2、y2)且P分有向線段
所成的比為λ，則
，
又點P(x，y)在雙曲線
上，∴
，化簡得
，
又
，
，∴
9分
令
∵
在
上單減，在
上單增，
又
∴在
上單減，在
上單增，∴umin＝u(1)＝4，
又
，
∴umin＝
故
的最小值為9，最大值為
。
20．⑴由已知，對于n∈N＋總有
①，∴
②
①－②得
∴
∵an＞0，∴
∴數列
是公差為1的等差數列
又n＝1時，
，解得a1＝1，∴an＝n(n∈N＋)。 4分
⑵證明：∵an＝n，則對任意
和
，總有
6分
∴
8分
⑶解：由已知
，
，
，
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2時，
是單調遞減數列 10分
令
，則
∴當x≥3時，f’ (x)<0，故在
內f (x)單減 12分
由an＋1＝(cn)n＋1知
∴n≥2時，
是單減數列，即{cn}是單減數列，又c1<c2
∴{cn}中最大項為
21．⑴
3分
故當x∈(0，1)時
＞0，x∈(1，＋∞)時
＜0
所以
在(0，1)單增，在(1，＋∞)單減 5分
由此知在(0，＋∞)內的極大值為
＝ln2，沒有極小值 6分
⑵(i)當a≤0時，由于
故關于x的不等式
的解集為(0，＋∞) 10分
(ii)當a＞0時，由
知
其中n為正整數，且有
又n≥2時，
且
取整數no滿足no＞－log2(e
－1)，no＞
且no≥2
即
即當a＞0時，關于x的不等式的解集不是(0，＋∞) 13分
綜合(i)、(ii)知，存在a使得關于x的不等式的解集為(0，＋∞)且a的取值范圍為(－∞，0]
法二：
注：事實上，注意到
定義域為(0，＋∞)，只須求之下限
結合(1)，并計算得
故所求a值存在，其范圍是(－∞，0]
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