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如圖，A為橢圓

x2

a2

+

y2

b1

=1（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

．
①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求λ₁+λ₂的值；
②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是λ₁+λ₂否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由．

(本小題滿分14分)在周長為定值的中，已知，動點的運動軌跡為曲線G,且當動點運動時，有最小值.

(1) 以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標系，求曲線的方程；

(2) 過點作圓的切線交曲線于，兩點．將線段MN的長|MN|表示為的函數，并求|MN|的最大值．

 

 

（本小題滿分14分）

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在對角線A₁C₁上，記二面角P-AB-C為α，二面角P-BC-A為β。

(1) 當A₁P：PC₁=1：3時，求cos（α+β）的大小。

（2）點P是線段A₁C₁(包括端點)上的一個動點，問：當點P在什么位置時，α+β有最小值？

 

(本小題滿分14分）在周長為定值的中，已知，動點的運動軌跡為曲線G,且當動點運動時，有最小值.

(1)以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標系，求曲線G的方程.

(2)過點(m,0)作圓x²＋y²＝1的切線l交曲線G于M，N兩點．將線段MN的長|MN|表示為m的函數，并求|MN|的最大值．

 

如圖，A為橢圓上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，恰好有AF₁：AF₂＝3：1.

(Ⅰ) 求橢圓的離心率；(Ⅱ) 設.

①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求的值；

②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是否

為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由.