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（本小題滿分12分）已知數列，

定義其倒均數是。

   （1）求數列{}的倒均數是，求數列{}的通項公式；

   （2）設等比數列的首項為－1，公比為，其倒數均為，若存在正整數k，使得當恒成立，試找出一個這樣的k值（只需找出一個即可，不必證明）

已知函數；

（1）若函數在其定義域內為單調遞增函數，求實數的取值范圍。

（2）若函數，若在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，求實數的取值范圍。

【解析】第一問中，利用導數，因為在其定義域內的單調遞增函數，所以 內滿足恒成立，得到結論第二問中，在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，轉換為不等式有解來解答即可。

解：（1），

因為在其定義域內的單調遞增函數，

所以 內滿足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

當且僅當，即x=1時取等號，

在其定義域內為單調增函數的實數k的取值范圍是.

（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，設

 上的增函數，依題意需

實數k的取值范圍是

在平面直角坐標系上，設不等式組（）

所表示的平面區域為，記內的整點（即橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為.

（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數學歸納法加以證明；

（Ⅱ）設數列的前項和為，數列的前項和,是否存在自然數m？使得對一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。