題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）
題號
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
C
A
B
A
B
D
D
A
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分）
（9）1
（10）1，［0，1］ （11）
（12）
（13）（-2，
］∪［
，2)
（14）4，（5，1，3）
三、解答題（本大題共6小題,共80分）
（15）（本小題共12分）
解：（Ⅰ）f
(x)=sin2x+2
………………………………………2分
=
=2sin(2x
)………………………………………………………14分
所以T=
=
.……………………………………………………………………5分
由
+
≤2x-
≤+
(k
Z)得
+
≤x≤kπ+
(kZ).…………………………………………………7分
所以函數f (x)的最小正周期為，單調遞減區間為［
，
］（kZ）.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=2sin(2x-
).
因為x
，
，
所以
.…………………………………………………………8分
因為sin(
)=sin
＜sin
，
所以當x=
時，函數f (x)取得最小值-
；當x=時，函數f (x)取得最大值2.………………………………………………………………………………12分
（16）（本小題共12分）
解：（Ⅰ）因為f (x)=x2(x＞0)，所以g(x)=
（x＞0）.
從而f ′(x)=2x，g′(x)=
.…………………………………………3分
所以切線l1，l2的斜率分別為k1=f′(x0)=2x0，k2= g′(y0)= 
.
又y0=
( x0＞0)，所以k2=
.………………………………………4分
因為兩切線l1，l2平行，所以k1= k2. …………………………………5分
從而(2x0)2 =1.
因為x0＞0.
所以x0=
所以M，N兩點的坐標分別為(，
)，（，）.………………7分
（Ⅱ）設過O、M、N三點的圓的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因為圓過原點，所以F =0.因為M、N關于直線y =x對稱，所以圓心在直線y=x
上.
所以D =E.………………………………………………………………………10分
又因為M (，)在圓上，
所以D =E =
.
所以過O、M、N三點的圓的方程為:x2+ y2 
.………12分
（17）（本小題共14分）
（Ⅰ）證明:連結AC1交A1C于點G，連結DG.
在正三棱柱ABC- A1B1 C1中，四邊形ACC1A1是平行四邊形，
∴AG=GC1.
∵AD=DB，
∴DG∥BC1.………………………2分
∵DG
平面A1DC，BC1
平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC.…………………4分
解法一：(Ⅱ)連結DC1，設C1到平面A1DC的距
離為h.
∵四邊形ACC1A1是平行四邊形，
∴S△
= S△
.
∴V
=V
.
∵
S△ACD?AA1=
，
∴
=.…………………………………………………………………………6分
在等邊三角形ABC中，D為AB的中點，
∴CD =
，CD⊥AB.
∵AD是A1D在平面ABC內的射影，
∴CD⊥A1D.……………………………………………………………………………8分
∴S△
=
…………………………………………………………………9分
∴h=
………………………………………………………………………9分
(Ⅲ)過點D作DE⊥AC交AC于E，過點D作DF⊥A1C交A1C于F，連結EF.
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，DE平面ABC，
平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
∴DE⊥平面ACC1A1.
∴EF是DF在平面ACC1A1內的射影.
∴EF⊥A1C.
∴∠DEF是二面角D-A1C-A的平面角.
……………………………………12分
在直角三角形ADC中，DE =
=
.
同理可求：DF=
∴sinDEF=
.
∵∠DEF
，
∴∠DFE=arcsin
.………………………………………………………………14分
解法二：過點A作AO⊥BC交BC于O，過點O作OE⊥BC交B1C1于E.因為平面
ABC⊥平面CBB1C1，所以AO⊥平面CBB1C1.分別以CB、OE、OA所在的直線為x
軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.因為BC=1，AA1=，△ABC是等
邊三角形，所以O為BC的中點.則
O(0，0，0)，
，
，
，
，
C1
………………6分
(Ⅱ)設平面A1DC的法向量為n=(x，y，z)，
則
∵
=(
，0，)，
=（
，
，
），
∴
取x =，得平面A1DC的一個法向量為n =(，1，-3).………………………………8分
∴C1到平面A1DC的距離為： =
.…………………………………10分
（Ⅲ）同(Ⅱ)可求平面ACA1的一個法向量為n1=(，0，-1).………………………12分
設二面角D-A1C-A的大小為θ，則cosθ=cos＜n，n1＞=
=
.
∵
(0，π)，
∴
=arccos.…………………………………………………………………14分（18）（本小題共14分）
解（Ⅰ）由已知得P1+P2+P3=1.
∵P2=P3，∴P1+2P2=1.
∵P1，P2是方程25x2-15x +a=0的兩個根，
∴P1+P2 =
.
∴P1=
，P2=P3=
.…………………………………………………………3分
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，100，200，300，400.…………………………………4分
P(ξ=0) =×=
，
P(ξ=100) =2××=
，
P(ξ=200) =2××+×=
，
P(ξ=300) =2××=，
P(ξ=400) = ×=.……………………………………………………9分
隨機變量ξ的分布列為：
ξ
0
100
200
300
400
P
（Ⅲ）銷售利潤總和的平均值為………………………………………………………11分
Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240.
∴銷售兩臺這種家用電器的利潤總和的平均值為240元.……………………14分
注：只求出Eξ，沒有說明平均值為240元，扣1分.
（19）（本小題共14分）
解：(Ⅰ)設動點P的坐標為(x，y)，則直線PA，PB的斜率分別是
，
.
由條件得?=
.………………………………………………3分
即
+y2 =1（x≠0）.
所以動點P的軌跡C的方程為+y2 =1(x≠0).………………………5分
注：無x≠0扣1分.
(Ⅱ)設點M，N的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).
當直線l垂直于x軸時，x1= x2= -1，y1=-y2，
=.
所以
=（x1-2，y1）=(-3，y1)，
=（x2-2，y2）=（-3，-y1）.
所以
?
=9-=
.…………………………………………………7分
當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=k(x+1)，
由
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
所以x1+x2=
，x1x2=
.………………………………………9分
所以?=（x1-2）(x2-2)+y1y2= x1x2-2(x1+x2) +4+y1y2.
因為y1=k (x1+1)，y2=（x2+1），
所以?=(k2 +1)x1x2+（k2-2）(x1+x2)+k2+4=
-
＜.
綜上所述?的最大值是.……………………………………11分
因為S≤
tanMQN恒成立，
即||?||sinMQN≤
恒成立.
由于?=
＞0.
所以cosMQN＞0.
所以?≤2恒成立.……………………………………………13分
所以的最小值為
.……………………………………………………14分
注：沒有判斷∠MQN為銳角，扣1分.
（20）（本小題共14分）
解：（Ⅰ）{an}不是無界正數列，理由如下：………………………………………1分
取M=5，顯然an=3+2sin(n)
≤5，不存在正整數n0滿足
＞5；………………2分
{bn}是無界正數列.理由如下：………………………………………………………3分
對任意的正數M，取n0為大于2M的一個偶數，有
＞
＞M，所以
{bn}是無界正數列.…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）存在滿足題意的正整數k.理由如下：
當n≥3時，
因為
=
≥
＞，
即取k=3，對于一切n≥k，有
＜n成立.………………9分
注:k取大于或等于3的整數即可.
（Ⅲ）證明：因為數列{an}是單調遞增的正數列，
所以
＞
即
＜n-1+
.
因為{an}是無界正數列，取M =2a1，由定義知存在正整數n1，使
＞2a1，
所以
＜n1
.
由定義可知{an}是無窮數列，考察數列
，
，
，…，顯然這仍是一個單調遞增的無界正數列，同上理由可知存在正整數n2，使得
＜（n2-n1）.
重復上述操作，直到確定相應的正整數n4018.
則
＜
=
-2009.
即存在正整數m=
，使得
＜m-2009成立.
…………………………………………………………………………………14分
說明：其他正確解法按相應步驟給分.
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