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已知函數f(x)=

ax2+1

bx+c

(a，b，c∈R)是奇函數，又f(1)=2，f(2)=

5

2

．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x∈（0，+∞）時，討論函數的單調性，并寫出證明過程．

已知函數f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區間；
（2）證明：對任意實數0＜x₁＜x₂＜1，關于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實數解
（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f（x）是在閉區間[a，b]上連續不斷的函數，且在區間（a，b）內導數都存在，則在（a，b）內至少存在一點x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

（可不用證明函數的連續性和可導性）．

（2012•綿陽三模）已知函數f（x）=2x³-3ax²+a+b（其中a，b為實常數）．
（I）討論函數的單調區間；
（II） 當a＞0時，函數f（x）有三個不同的零點，證明：-a＜b＜a³-a；
（III） 若f（x）在區間[1，2]上是減函數，設關于X的方程f（x）=2x³-2ax²+3x+a+b的兩個非零實數根為x₁，x₂．試問是否存在實數m，使得m²+tm+1≤|x₁-x₂|對任意滿足條件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）=ax-1-lnx（a∈R）
①當a=

1

2

時，求函數在[1，e]上的最大值和最小值；
②討論函數的單調性；
③若函數f（x）在x=1處取得極值，不等式f（x）≥bx-2對?x∈（0，+∞）恒成立，求實數b的取值范圍．

已知a≥0，函數f（x）=（x²-2ax）e^x．
（1）當a=0時討論函數的單調性；
（2）當x取何值時，f（x）取最小值，證明你的結論．