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設函數f（x）的定義域為（0，+∞）且對任意正實數x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1時f（x）＞0．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明；
（3）一個各項均為正數的數列{a_n}滿足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是數列{a_n}的前n項和，求{a_n}的通項公式．

設函數f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然對數的底數）．
（1）判斷函數H（x）=f（x）-g（x）零點的個數，并說明理由；
（2）設數列{a_n}滿足：a₁∈（0，1），且f（a_n）=g（a_n+1），n∈N^*；
①求證：0＜a_n＜1；
②比較a_n與（e-1）a_n+1的大小．