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如圖，P-AD-C是直二面角，四邊形ABCD是∠BAD=120°的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中點，設PC與平面ABCD所成的角為45°．
（1）求證：平面PAE⊥平面PCD；
（2）試問在線段AB（不包括端點）上是否存在一點F，使得二面角A-PE-D的大小為45⁰？若存在，請求出AF的長，若不存在，請說明理由．

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如圖，P-AD-C是直二面角，四邊形ABCD是∠BAD=120°的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中點，設PC與平面ABCD所成的角為45°．
（1）求證：平面PAE⊥平面PCD；
（2）試問在線段AB（不包括端點）上是否存在一點F，使得二面角A-PE-D的大小為45？若存在，請求出AF的長，若不存在，請說明理由．

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第 Ⅰ 卷（共50分）

一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

C

C

A

B

D

D

C

A

二、填空題：

11. 20    12.  4    13.  22       14.  24     15.

三、解答題：

16.解：（1）由得

                ………………………………………2分

                                …………………………6分

（2）

                               …………………………10分

        ……………12分

17.解：（1）取SA的中點H，連結EH,BH

E是SD的中點

四邊形EFBH為平行四邊形

  又

                                      ………………………4分

（2）  

以為原點，為軸，為軸，為軸，如圖所示建立直角坐標系，

則

設是平面的法向量，則

       取

則到平面的距離為                …………………………8分

（3）設，則 

設是平面的法向量，則

  取  

由  得

，  故存在G點滿足要求，.             …………………………12分

18.解：

由已知，得

       …………………………3分

（1）

由，得或

由，得

的遞增區間是，遞減區間是……………………6分

（2）不等式即 

由，得

又

在內最大值為6，最小值為－14

的取值范圍為                            …………………………12分

19.解：（1） …………………………2分

  隨的增大而增大

當時，                              …………………………6分

（2）連續操作四次“獲勝”的概率記作，則

當且僅當   即時取“＝”

由 ，得     

當時，“獲勝”的概率最大.                  …………………………12分

20.解：設A、B的坐標分別為 的方程為：

（1）N點坐標

所求的方程為：                          …………………………6分

（2）由  得 

， ， 

設點坐標為 ， 顯然 

                                        …………………………13分

21.解：（1）欲使為等差數列，只需

即 

令  得

存在實數，使是等差數列.               …………………………3分

（2）

是等差數列，

                                 …………………………5分

故                               …………………………8分

（3）當時，

又，

左式.   …………………………14分