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直線l：y=k（x-1）過已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1經過點（0，

3

），離心率為

1

2

，經過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，當直線l的傾斜角變化時，探求λ+μ的值是否為定值？若是，求出λ+μ的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

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直線x+

3

y-2=0與圓x²+y²=4相交于C₁的圓心為（3，0），且經過點A（4，1）．
（1）求圓C₁的方程；
（2）若圓C₂與圓C₁關于直線l對稱，點B、D分別為圓C₁、C₂上任意一點，求|BD|的最小值；
（3）已知直線l上一點M在第一象限，兩質點P、Q同時從原點出發，點P以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動，點Q以每秒2

2

個單位沿射線OM方向運動，設運動時間為t秒．問：當t為何值時直線PQ與圓C₁相切？

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第 Ⅰ 卷（共50分）

一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

C

C

A

B

D

D

C

A

二、填空題：

11. 20    12.  4    13.  22       14.  24     15.

三、解答題：

16.解：（1）由得

                ………………………………………2分

                                …………………………6分

（2）

                               …………………………10分

        ……………12分

17.解：（1）取SA的中點H，連結EH,BH

E是SD的中點

四邊形EFBH為平行四邊形

  又

                                      ………………………4分

（2）  

以為原點，為軸，為軸，為軸，如圖所示建立直角坐標系，

則

設是平面的法向量，則

       取

則到平面的距離為                …………………………8分

（3）設，則 

設是平面的法向量，則

  取  

由  得

，  故存在G點滿足要求，.             …………………………12分

18.解：

由已知，得

       …………………………3分

（1）

由，得或

由，得

的遞增區間是，遞減區間是……………………6分

（2）不等式即 

由，得

又

在內最大值為6，最小值為－14

的取值范圍為                            …………………………12分

19.解：（1） …………………………2分

  隨的增大而增大

當時，                              …………………………6分

（2）連續操作四次“獲勝”的概率記作，則

當且僅當   即時取“＝”

由 ，得     

當時，“獲勝”的概率最大.                  …………………………12分

20.解：設A、B的坐標分別為 的方程為：

（1）N點坐標

所求的方程為：                          …………………………6分

（2）由  得 

， ， 

設點坐標為 ， 顯然 

                                        …………………………13分

21.解：（1）欲使為等差數列，只需

即 

令  得

存在實數，使是等差數列.               …………………………3分

（2）

是等差數列，

                                 …………………………5分

故                               …………………………8分

（3）當時，

又，

左式.   …………………………14分