題目列表(包括答案和解析)
(12分)在4名男生和3名女生中挑選3人參加志愿者服務(wù)活動，
(Ⅰ)求至多選中1名女生的概率；
(Ⅱ)記女生被選中的人數(shù)為隨機(jī)變量
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
2008年7月20日市委三屆三次全委會提出了五個重慶的建設(shè)目標(biāo)即：“宜居重慶”、“暢通重慶”、“森林重慶”、“平安重慶”、“健康重慶”．今市團(tuán)委將舉辦全市中學(xué)生“話說五個重慶建設(shè)”演講比賽活動．我校將從演講實力相當(dāng)?shù)?名同學(xué)，其中4名男同學(xué)2名女同學(xué)中隨機(jī)選出2名同學(xué)參賽．求：
(1)甲同學(xué)被選中的概率是多少？
(2)記隨機(jī)變量ξ為“選出的2名同學(xué)中女生的人數(shù)”，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
某校的學(xué)生記者團(tuán)由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示：
學(xué)校準(zhǔn)備從中選出4人到社區(qū)舉行的大型公益活動進(jìn)行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生則給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有．
(Ⅰ)求理科組恰好記4分的概率？
(Ⅱ)設(shè)文科男生被選出的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
某校的學(xué)生記者團(tuán)由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示：
學(xué)校準(zhǔn)備從中選出4人到社區(qū)舉行的大型公益活動進(jìn)行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生則給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有．(Ⅰ)求理科組恰好記4分的概率？
(Ⅱ)設(shè)文科男生被選出的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
一、選擇題(每小題5分，共50分)
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．D
二、填空題(每小題4分，共24分)
l 1．192 12．286 13．
14．
15．
三、解答題(本大題共6小題，共76分)
17．(本題12分)
解：（Ⅰ）
………………………………（2分）
…………（4分）
…………………………………(6分)
(Ⅱ)
．
……………(8分)
由已知條件
根據(jù)正弦定理，得
…………………（10分）
……………………（12分）
18．(本題12分)
解：(Ⅰ)在7人中選出3人，總的結(jié)果數(shù)是
種
………………(2分)
記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A，則A包含兩種情形：
①被選中的是1名女生，2名男生的結(jié)果數(shù)是
種，
②被選中的是3名男生的結(jié)果數(shù)是
種，
………………(4分)
至多選中1名女生的概率為
． ……………(6分)
(Ⅱ)由題意知隨機(jī)變量
可能的取值為：0，1，2，3，則有
……………………（8分）
的分布列
0
1
2
3
P
……………（10分）
的數(shù)學(xué)期望
…
……(12分)
19.(本題12分)
解：(Ⅰ)連接
，以
所在的直線為
軸，
軸，
軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． …………………………………（2分)
正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都是2，
．
．
為
的中點(diǎn)．
…………（4分）
．
即異面直線
和
所成的角為
………(6分)
(Ⅱ)
．
是平面
的一個法向量． ……………………………（8分）
由（Ⅰ）得
．
設(shè)平面
的一個法向量為
，
則由
，得
．
，不妨設(shè)
，
得平面的一個法向量為
．
………………（10分）
．
二面角
小于
，
二面角的余弦值為
．
………………（12分）
20.(本題12分)
解：(Ⅰ)由已知得
，又
，
即
． …………………………（2分）
，公差
．
由
，得 …………………………（4分）
即
．解得
或
(舍去)．
．
…………………………（6分）
(Ⅱ)由
得
…………………………（8分）
…………………………（9分）
是等差數(shù)列．
則
………………………(11分)
……………………(12分)
21．(本題14分)
解：(Ⅰ)依題意得
．
………………………（2分）
把（1，3）代入．
解得
．
橢圓的方程為
．
………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，設(shè)
，如圖所示
點(diǎn)在橢圓上，
． ①
點(diǎn)異于頂點(diǎn)
、
，
．
由
、、三點(diǎn)共線，可得
從而
…………………………（7分）
② …………（8分）
將①式代入②式化簡得
…………（10分）
…………（12分）
于是
為銳角，
為鈍角．
點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)． ……………(14分)
22.（本題14分)
解：（Ⅰ）
，
令
，得
或
．
………………（2分）
當(dāng)
時，
在
上單調(diào)遞
當(dāng)
時，
在
上單調(diào)遞減，
而
，
當(dāng)
時，
的值域是
． ……………（4分）
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)
在
上的值域是A，
若對任意
．總存在
1,使
，
．
……………（6分）
．
①當(dāng)
時，
，
函數(shù)在
上單調(diào)遞減．
，
當(dāng)時，不滿足
； ……………………(8分)
②當(dāng)
時，
，
令
，得
或
(舍去 ………………(9分)
（i）
時，
的變化如下表：
0
2
-
0
+
0
．
，解得
． …………………(11分)
(ii)當(dāng)
時，
函數(shù)在上單調(diào)遞減．
，
當(dāng)時，不滿足．
…………………(13分)
綜上可知，實數(shù)
的取值范圍是
． ……………………（14分）
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