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如圖，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，側棱AA₁=

2

，M為A₁B₁的中點，則AM與平面AA₁C₁C所成角的正切值為

 

．

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如圖，在直三棱柱中，D、E分別是BC和的中點，已知AB=AC=AA₁=4，ÐBAC=90°.

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱錐的體積.

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一．選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.

ABCCB  ADCCD  BD

二．填空題：本大題共4個小題,每小題5分,共20分.

13. 6 ；14. 60 ；15.；16 .446.

三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17. （Ⅰ）設的公比為q（q>0）,依題意可得

解得                                             （5分）

∴數列的通項公式為                                                          （6分）

（Ⅱ）                                   （10分）

18. （Ⅰ）（2分）∴；   （4分）

當，即，時單調遞增

∴函數的單調遞增區間為                                 （6分）

（Ⅱ）∵，∴，∴     （10分）

∴當時，有最大值，此時.                    （12分）

19.（Ⅰ）記表示甲以獲勝；表示乙以獲勝，則，互斥，事件，

∴     （6分）

（Ⅱ）記表示甲以獲勝；表示甲以獲勝， 則_，互斥，事件， ∴（12分）

20．                    解法一：（Ⅰ）證明：在直三棱柱中，

面面ABC，又D為AB中點，∴CD⊥面，∴CD⊥，∵AB=，∴⊥，

又DE∥∴⊥DE ，又DE∩CD =D

∴⊥平面CDE                                     （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥平面CDE，設與DE交于點M ，

過B作BN⊥CE，垂足為N，連結MN ， 則A₁N⊥CE，故∠A₁NM即為二面角的平面角.                                                                        （9分） 

∵，，又由△ENM   △EDC得

.   又∵

在Rt△A₁MN中，tan∠A₁NM ，                                            （12分）

故二面角的大小為.                                                     （12分）

解法二：AC=BC=2，AB=，可得AC⊥BC，故可以C為坐標原點建立如圖所示直角

坐標系C-xyz.則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），

D（1，1，0），E （0，2，），（2，0，）（3分）

（Ⅰ）（-2，2，-），（1，1，0），

（0，2，）.∵，

∴， 又CE∩CD =C

∴⊥平面CDE                            （6分）

（Ⅱ）設平面A₁CE的一個法向量為n＝（x，y，z），　　　（2，0，），

（0，2，）．∴由n，n得，

令得，，n=（2，1，）                         （9分）

又由（Ⅰ）知（-2，2，-）為平面DCE的法向量.

等于二面角的平面角.                          （11分）

.                                       （12分）

二面角的大小為.                              （12分）

21．（Ⅰ）．由題意知為方程的兩根

由，得                             （3分）

從而，．

當時，；當和時，

故在上單調遞減，在，上單調遞增．     （7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上單調遞減，在處取得極值，此時，若存在，使得，

即有就是  解得.              （12分）

故b的取值范圍是.                                （12分）        

22. （Ⅰ）設橢圓方程為(a>b>0)，由已知c=1，

又2a= .   所以a=,b²=a²-c²=1，

橢圓C的方程是+ x² =1.                                                                  （4分）

  （Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1,

若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)²+y²=．

由解得即兩圓相切于點(1，０)．

因此所求的點T如果存在，只能是(1，0)．

事實上，點T(1，０)就是所求的點．證明如下：                             （7分）

當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

記點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則

又因為=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂),

?=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1

=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，       （11分）

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T(1，0)．

所以在坐標平面上存在一個定點T(1，0)滿足條件．                        （12分）