題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題（每小題5分，共60分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
C
D
A
D
C
C
D
B
二、填空題（每小題5分，共20分）
13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、
．
三、解答題
17、解：（Ⅰ）當
時，有
，又
，所以
……1分
當
時，
=
所以
，且當時，
……3分
又
，因此數列{
}是以1為首項
且公差為2的等差數列，所以
……2分
（Ⅱ）證明：（1）當時，
，
，關系成立
……1分
（2）假設當
時，關系成立，即
，則
……1分 那么
，即當
時關系也成立
……3分 根據（1）和（2）知，關系式
對任意
N*都成立 ……1分
18、解：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則
，
，
，
，
，
……1分
設
，則
，
，
即AM⊥BC，又因為
，且
，
所以 AM^平面
……3分
（Ⅱ）
，因為，所以
，得
，
即
，可得平面
的一個法向量為
=
……3分
，設平面
的一個法向量為
，
則
且
，得
，
，令
，得平面的一個法向量為
=
……3分設平面ABM與平面AB
，
則
……2分
19、解：（Ⅰ）隨機變量甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數X的分布列為：
X
0
1
2
3
4
5
6
……6分
泳道相隔數X的期望為：
E（X）=
……2分
（Ⅱ）
……4分
20、解：（Ⅰ）由
得
……2分
可得直線
的方程為
，于是
，
得
，
，
，所以橢圓
的方程為
……2分
（Ⅱ）設
，由方程組
得
，
所以有
，
，且
，即
……2分
……2分
因為
，所以
，又
，所以
是線段
的中點，
點的坐標為
，即的坐標是
，因此
直線
的方程為
，得點
的坐標為（0，
），
所以
……2分
因此
所以當
，即
時，
取得最大值，最大值為
……2分
21、解：（Ⅰ）
……2分
若
，則
，
為R上的單調遞增函數；
若
，
的解為
或
，
的解為
，
此時在區間
單調遞增，在區間
單調遞減；
若
，的解為
或
，的解為
，
此時在區間
單調遞增，在區間
單調遞減……3分
（Ⅱ）當時，
，
，
因為
，所以點（0，
）不在曲線上，設過點的直線與曲線相切于點
，則切線方程為
，所以有
及
，得
……2分 令
，
則
，
令
，得
，
，
，可得
在區間
單調遞增，在區間
單調遞減，所以在
時取極大值
，
在
時取極小值
，在
時取極大值
，又
，
所以是的最大值
……3分
如圖，過點（0，）有且只有一條直線與曲線
相切等價于直線
與曲線
有且只有一個交點，又當
時，
，所以
或
……2分
22、（Ⅰ）證明：因為AB為⊙O直徑，
所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，
因為D是弧
的中點，由垂徑定理
得OD⊥BC，因此OD∥AC ……3分
又因為點O為AB的中點，所以點E為
BC的中點，所以OE＝
AC ……2分
（Ⅱ）證明：連結CD，因為PC是⊙O的切線，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得
，得
……3分
因為D是弧的中點，所以
，因此
……2分
23、解：（Ⅰ）曲線
上的動點的坐標為（
，
），坐標原點
（0，0），
設P的坐標為（
，
），則由中點坐標公式得
，
，所以點P 的坐標為（
，
）……3分
因此點的軌跡的參數方程為
（為參數，且
），
消去參數得點軌跡的直角坐標方程為
……2分
（Ⅱ）由直角坐標與極坐標關系
得直線
的直角坐標方程為
……2分 又由（Ⅰ）知點的軌跡為圓心在原點半徑為2的圓，
因為原點（0，0）到直線的距離為
所以點到直線距離的最大值
……3分
24、解：（Ⅰ）由題意得
，即
得
……2分
因為
所以的取值范圍是[0，6] ……3分
（Ⅱ）
，
因為對于
，由絕對值的三角不等式得
……3分
于是有
，得
，即
的取值范圍是
……2分
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