題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
，數(shù)列
的項滿足：
，（1）試求
（2） 猜想數(shù)列
的通項，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解析】第一問中，利用遞推關(guān)系
, 
, 
第二問中，由（1）猜想得：
然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。
解: (1) ,
, …………….7分
（2）由（1）猜想得：
（數(shù)學(xué)歸納法證明）i) 
,
,命題成立
ii) 假設(shè)
時，
成立
則
時，
綜合i),ii) : 成立
在數(shù)列
中，
記
（Ⅰ）求
、
、
、
并推測
；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知，
、
、
、
，猜想可得
第二問中，①當(dāng)
時，
=
，又，猜想正確
②假設(shè)當(dāng)
時猜想成立，即
，
當(dāng)
時，
=
=
，即當(dāng)時猜想也成立
兩步驟得到。
（2）①當(dāng)時，=，又，猜想正確
②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，
當(dāng)時，
=
=，即當(dāng)時猜想也成立
由①②可知，對于任何正整數(shù)
都有成立
已知
，（其中
）
⑴求
及
；
⑵試比較
與
的大小，并說明理由．
【解析】第一問中取
，則
；
…………1分
對等式兩邊求導(dǎo)，得
取
，則
得到結(jié)論
第二問中，要比較與的大小，即比較：
與
的大小，歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
；
猜想：當(dāng)
時，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。
解：⑴取，則；
…………1分
對等式兩邊求導(dǎo)，得
，
取，則。 …………4分
⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
…………6分
猜想：當(dāng)時，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
由上述過程可知，
時結(jié)論成立，
假設(shè)當(dāng)
時結(jié)論成立，即
，
當(dāng)
時,
而
∴
即時結(jié)論也成立，
∴當(dāng)時，成立。
…………11分
綜上得，當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
；
當(dāng)
時，
已知遞增等差數(shù)列
滿足：
，且
成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實數(shù)
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于
，利用當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價于，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數(shù)學(xué)歸納法．
當(dāng)時，
，成立．
假設(shè)當(dāng)
時，不等式
成立，
當(dāng)
時，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調(diào)性證明．
要證
只要證 
，
設(shè)數(shù)列
的通項公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
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