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(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log₃［(x－2m)²+m+］,

當m∈M時，m>1,∴(x－m)²+m+>0恒成立，故f(x)的定義域為R.

反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則只須x²－4mx+4m²+m+>0,令Δ＜0,即16m²－4(4m²+m+)＜0,解得m>1,故m∈M.

(2)解析：設u=x²－4mx+4m²+m+,∵y=log₃u是增函數，∴當u最小時，f(x)最小.?而u=(x－2m)²+m+,顯然，當x=m時，u取最小值為m+,此時f(2m)=log₃(m+)為最小值.

(3)證明：當m∈M時，m+=(m－1)+ +1≥3,當且僅當m=2時等號成立.

∴log₃(m+)≥log₃3=1.

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一、1.解析：∵m₁=x²在(－∞,－）上是減函數，m₂=在(－∞,－）上是減函數，

∴y=x²+在x∈(－∞,－)上為減函數,

∴y=x²+ (x≤－)的值域為［－，+∞.

答案：B

2.解析：令=t(t≥0),則x=.

∵y=+t=－ (t－1)²+1≤1

∴值域為(－∞,1.

答案：A

二、3.解析：t=+16×()²/V=+≥2=8.

答案：8

4.解析：由韋達定理知：x₁+x₂=m,x₁x₂=,∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²－2x₁x₂=m²－=(m－)²－,又x₁,x₂為實根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－)²－在區間(－∞,1）上是減函數，在［2，+∞上是增函數又拋物線y開口向上且以m=為對稱軸.故m=1時，

y_min=.

答案：－1 

三、5.解：(1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)?之差，由題意，當x≤5時，產品能全部售出，當x>5時，只能銷售500臺，所以

y=

(2）在0≤x≤5時，y=－x²+4.75x－0.5,當x=－=4.75(百臺）時，y_max=10.78125(萬元），當x>5(百臺）時，y＜12－0.25×5=10.75(萬元），?

所以當生產475臺時，利潤最大.?

(3）要使企業不虧本，即要求

解得5≥x≥4.75－≈0.1(百臺）或5＜x＜48(百臺）時，即企業年產量在10臺到4800臺之間時，企業不虧本.

6.解：(1）依題意(a²－1）x²+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立，當a²－1≠0時，其充要條件是，

∴a＜－1或a>.又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意.故a≤－1或a>為所求.

(2）依題意只要t=(a²－1)x²+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R，故有,解得1＜a≤,又當a²－1=0即a=1時，t=2x+1符合題意而a=－1時不合題意，∴1≤a≤為所求.

7.解：設每周生產空調器、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺，由題意得：

x+y+z=360?                                                                                                   ①          

                                                                                        ②x>0,y>0,z≥60.                                                                                              ③?

假定每周總產值為S千元，則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下，為求目標函數S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x.                                                                                   ④

將④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x                                                             ⑤

∵z≥60,∴x≥30.                                                                                                    ⑥

再將④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2?2x,即S=－x+1080.由條件⑥及上式知，當x=30時，產值S最大，最大值為S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分別代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60.

∴每周應生產空調器30臺，彩電270臺，冰箱60臺，才能使產值最大，最大產值為1050千元.

8.解：(1）如圖所示：設BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h=,

∴S₁=πah+πbh=,

∴f(x)=                                                                                       ①

又

代入①消c，得f(x)=.

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,則

x==sinA+cosA=sin(A+).∴1＜x≤.

(2)f(x)= +6,設t=x－1,則t∈(0, －1),y=2(t+)+6在(0，－1上是減函數，∴當x=(－1)+1=時，f(x)的最小值為6+8.