題目列表(包括答案和解析)
對定義在
上，并且同時滿足以下兩個條件的函數
稱為
函數．
① 對任意的
，總有
；
② 當
時，總有
成立．
已知函數
與
是定義在上的函數．
（1）試問函數
是否為
函數？并說明理由；
（2）若函數
是函數，求實數
的值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數
，使方程
恰有兩解？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
[1] 對任意的
，總有
；
[2] 
；
[3] 若
，
，且
，則有
成立，
并且稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
(1)若已知為“友誼函數”，求
的值；
(2)函數
在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
(3)已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
且
，
求證：
.
已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
[1] 對任意的
，總有
；
[2] 
；
[3] 若
，
，且
，則有
成立，
并且稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
(1)若已知為“友誼函數”，求
的值；
(2)函數
在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
(3)已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
且
，
求證：
.
已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
（1） 對任意的
，總有
；（2）
；（3） 若
，
，且
，則有
成立，則稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
（1）若已知為“友誼函數”，求
的值；
（2）函數
在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
（3）已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
且
， 求證：
.
已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
①對任意的
，總有
；
②
；
③當
，且
時，
成立．
稱這樣的函數為“友誼函數”．
請解答下列各題：
(1)已知為“友誼函數”，求
的值；
(2)函數
在區間上是否為“友誼函數”？請給出理由；
(3)已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
，且
，求證：
.
一．選擇題：DCDDA DDBBC
解析：1：復數i的一個輻角為900，利用立方根的幾何意義知，另兩個立方根的輻角分別是900+1200與900+2400，即2100與3300，故虛部都小于0，答案為（D）。
2：把x=3代入不等式組驗算得x=3是不等式組的解，則排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式組驗算得x=2是不等式組的解，則排除(D)，所以選(C).
3：在題設條件中的等式是關于
與
的對稱式，因此選項在A、B為等價命題都被淘汰，若選項C正確，則有
，即
，從而C被淘汰，故選D。
4：“對任意的x1、x2，當
時，
”實質上就是“函數單調遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“
有意義”。事實上由于
在
時遞減，從而
由此得a的取值范圍為
。故選D。
5：由韋達定理知
.從而
，故
故選A。
6：當點A為切點時，所求的切線方程為
，當A點不是切點時，所求的切線方程為
故選D。
7：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2， ∴VF－ABCD＝
?32?2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.
8：由二項展開式系數的性質有C
＋C
＋…＋C
＋C
＝2
，選B.
9：取特殊數列
=3，則
=
=10，選(B).
10：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關系式，故可用特殊方程來考察。取雙曲線方程為
－
=1，易得離心率e=
,cos
=
，故選C。
二．填空題：11、
； 12、
；13、
；14、
，
；15、
，
；
解析：11：因為
（定值），于是
，
，
，又
， 故原式=。
12：因為正方形的面積是16，內切圓的面積是
，所以豆子落入圓內的概率是
．
13：設k = 0，因拋物線焦點坐標為
把直線方程
代入拋物線方程得
，∴
，從而
。
14.（略）
15.（略）
三．解答題：
16．解：（1）∵對任意
，
，∴
--2分
∵
不恒等于
，∴
--------------------------4分
（2）設
①
時，由
解得：
由 解得其反函數為 ，
-----------------7分
②
時，由 解得：
解得函數的反函數為，
--------------------9分
∵
∴
------------------------------------------------------------------12分
１7．解：（Ⅰ）依題意，有
，
．
因此，
的解析式為
； …………………6分
（Ⅱ）由
（
）得
（），解之得
（）
由此可得
且
，
所以實數
的取值范圍是
． …………………12分
18.（I）因為側面
是圓柱的的軸截面，
是圓柱底面圓周上不與
、
重合一個點，所以
…………………2分
又圓柱母線
^平面
，
Ì平面，所以^，
又
，所以^平面
，
因為Ì平面
，所以平面
平面；…………………………………6分
（II）設圓柱的底面半徑為
，母線長度為
，
當點是弧
的中點時，三角形的面積為
，
三棱柱
的體積為
，三棱錐
的體積為
，
四棱錐
的體積為
，………………………………………10分
圓柱的體積為
，
………………………………………………12分
四棱錐與圓柱的體積比為
.……………………………………………14分
19.(Ⅰ)解：∵
∴
∴數列
是首項為（
），公比為2的等比數列，………………4分
，
，∴數列
是首項為1，公差為1的等差數列
，∴
…
…………………7分
（Ⅱ）令
代入
得：
解得:
由此可猜想
，即
…………………10分
下面用數學歸納法證明：
（1）當n＝1時，等式左邊＝1，右邊＝
,
當n＝1時，等式成立，
（2）假設當n＝k時，等式成立，即
當n＝k＋1時
∴當n＝k＋1時，等式成立，
綜上所述，存在等差數列，使得對任意的
有成立。
…………………14分
20.解：(Ⅰ)∵
軸，∴
,由橢圓的定義得：
， ……………2分
∵
，∴
，
又
得
∴
………………4分
∴
，∴所求橢圓C的方程為
． …………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為
則
，
, 由
－4得－
，
∴點P的軌跡方程為
…………………8分
設點B關于P的軌跡的對稱點為
，則由軸對稱的性質可得：
，
解得：
，…………………10分
∵點在橢圓上，
∴ 
，
整理得
解得
或 
…………………12分
∴點P的軌跡方程為
或
，經檢驗和都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．…………………14分
21.解（1） 
…………………1分
，
當
時
，函數
有一個零點；
當
時，
，函數有兩個零點。…………………3分
（2）令
，則
，…………………5分
在
內必有一個實根。即
，使
成立。…………………8分
（3）
假設
存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且
∴
………………10分
由②知對
,都有
令
得
由
得
， …………………12分
當時，
，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又
對,都有，滿足條件②。
∴存在
，使同時滿足條件①、②。 …………………14分
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