題目列表(包括答案和解析)
已知
，并且
是方程
的兩根，則實數
的大小關系可能是（
）
A：
B：
C：
D；
已知
，并且
是方程
的兩根，則實數
的大小關系可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
已知
，并且
是方程
的兩根，實數
的大小關系可能是
[ ]
已知
，設
和
是方程
的兩個根，不等式
對任意實數
恒成立；
函數
有兩個不同的零點.求使“P且Q”為真命題的實數
的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了命題和函數零點的運用。由題設x1＋x2＝a，x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝
＝
.
當a∈[1,2]時，的最小值為3. 當a∈[1,2]時，的最小值為3.
要使|m－5|≤|x1－x2|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.
由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋
＝0的判別式
Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0，
得m<－1或m>4.
可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。
解：由題設x1＋x2＝a，x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝.
當a∈[1,2]時，的最小值為3.
要使|m－5|≤|x1－x2|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.
由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判別式
Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0，
得m<－1或m>4.
綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即
解得實數m的取值范圍是(4,8]
已知tanα、tanβ是方程
的兩根且
，則
α＋β等于（ ）
A．
B．
C．或 D．－或
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分；每個小題給出四個選項，只有一項符合要求）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
D
B
B
B
A
D
二、填空題（本大題共5個小題，每小題5分，共25分）。
11、
；12、
；13、
；14、（
）；15、①③④
三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答題應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.
16.解：（1）經過各交叉路口遇到紅燈，相當于獨立重復試驗，∴恰好遇到3次紅燈概率為
……………………………………………………（6分）
（2）記“經過交叉路口遇到紅燈”事件為A，張華在第1、2個交叉路口未遇到紅燈，在第3個交叉路口遇到紅燈的概率為：
………………………………………………………（12分）
17.解：（1）∵
∴
又
，∴
……………………………………………………2分
又
的等比中項為2，∴
而
，∴
，∴
，
…………………………………4分
∴
，
∴
………………………………………………………6分
（2）
……………………………………………………8分
由
∴
∴
或
………………………………………………………………10分
故
………………………………………………………12分
18.（1）解：由
得
∵
∴
∴
∴
∴
∴
……………………………………………8分
（2）
……………………12分
19.解法一（幾何法）
（1）證明：∵E是CD中點
∴ED=AD=1
∴∠AED=45°
同理∠CEB=45°
∴∠BEA=90° ∴EB⊥EA
∵平面D1AE⊥平面ABCE
∴EB⊥平面D1AE，AD1
平面D1AE
∴EB⊥AD1……4分
（2）設O是AE中點，連結OD1，因為平面
過O作OF⊥AB于F點，連結D
在Rt△D1OF中,D1O=
,OF=
∴
∴
,即二面角D1-AB-E等于
………………………9分
（3）延長FO交CD于G，過G作GH⊥D
∵AB⊥平面D1FG ∴GH⊥平面D1BA，
∵CE//AB ∴CE//平面D1BA.
∴C到平面D1BA的距離等于GH.
又D
∵FG?D1O=D
∴GH=
即點
………………………13分
另解：在Rt△BED1中，BD1=
. 又AD1=1，AB=2
∴
∴∠BD
設點C到平面ABD1的距離為h 則
∴
∴
…………………………………13分
解法二：（向量法）
（1）證明：取AE的中點O，AB的中點F，連結D1O、OF，則OF//BE。
∵ DE=DA=1 ∴∠AED=45°
同理∠BEC=45° ∴∠BEA=90° ∴BE⊥EA ∴OF⊥AE
由已知D1O⊥EA
又平面O1AE⊥平面ABCE，∴D1O⊥平面ABCE，以O為坐標原點，OF、OA、OD1所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系。則B（
），E（
），D1（
），A（
），C（
）
∴
?
=（
）?（
）=0
∴ 
………………………………………………4分
（2）解：設平面ABD1的一個法向量為
則
令
，則y=1，z=1
∴ 
…………………………………………………………………6分
∵ OD1⊥平面ABCE.
∴
是平面ABE的一個法向量.
∴
即二面角D1-AB-E等于
. ………………………9分
（3）設點C到平面ABD1的距離為d，
則
……………………………………………………………13分
20.解：（1）因為
在區間（
，-2]上單調遞增，在區間[-2，2]上單調遞減，所以方程f′(x)
的兩根滿足
，
…………2分
由
，得
，所以
，而
，故b=0………………4分
則
,從而
故
……………………………………………………………………6分
（2）對任意的t1,t2
[m-2,m],不等式
恒成立，等價于在區間[m-2,m]上，
當0＜m
2時，[m-2,m][ -2,2]，所以
在區間[m-2,m]上單調遞減，
∴
， 
……………………………………………9分
解得
……………………………………………………………………11分
又
，∴
，∴m的最小值是
……………………………………13分
21.解：（1）當AC垂直于x軸時，
由橢圓定義，有
∴
，
………………………………………………………………2分
在Rt△AF
∴
∴
∴
…………………………………………4分
（2）由得：
∴
∴
∴
∴橢圓方程為
即
設
,
,
(i)若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為
∴
代入橢圓方程有：
∵
∴
由韋達定理得：
所以
………………………8分
于是
同理可得：
故
……………………………………………………………………12分
（ii）若直線AC⊥x軸，
，
，
，這時
，
綜上可知，
是定值6 …………………………………………………………13分
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