題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分13分) 已知二項式
（1）求其展開式中第四項的二項式系數；
（2）求其展開式中第四項的系數 。
(本小題滿分13分)某廠用甲、乙兩種產品，已知生產1噸A產品，1噸B產品分別需要的甲乙原料數、可獲得的利潤及該廠現有原料數如表：
產品 所需原料 | A產品（t） | B產品（t） | 現有原料(t) |
甲（t） | 2 | 1 | 14 |
乙（t） | 1 | 3 | 18 |
利潤（萬元） | 5 | 3 |
|
(1)在現有原料下，A、B產品應各生產多少才能使利潤最大？
(2)如果1噸B產品的利潤增加到20萬元，原來的最優解為何改變？
(3)如果1噸B產品的利潤減少1萬元，原來的最優解為何改變？
(4)1噸B產品的利潤在什么范圍，原最優解才不會改變？
(本小題滿分13分)
某市物價局調查了某種治療H1
N1流感的常規藥品在2009年每個月的批發價格和該藥品在藥店的銷售價格，調查發現，該藥品的批發價格按月份以12元/盒為中心價隨某一正弦曲線上下波動，且3月份的批發價格最高為14元/盒，7月份的批發價格最低為10元/盒.該藥品在藥店的銷售價格按月份以14元/盒為中心價隨另一正弦曲線上下波動，且5月份的銷售價格最高為16元/盒，9月份的銷售價格最低為12元/盒.
（Ⅰ）求該藥品每盒的批發價格f(x)和銷售價格g(x)關于月份
的函數解析式；
（Ⅱ）假設某藥店每月初都購進這種藥品p 盒，且當月售完，求該藥店在2009年哪些月份是盈利的？說明你的理由.
(本小題滿分13分) 根據長沙市建設大河西的規劃，市旅游局擬在咸嘉湖建立西湖生態文化公園. 如圖，設計方案中利用湖中半島上建一條長為
的觀光帶AB，同時建一條連接觀光帶和湖岸的長為2的觀光游廊BC，且BC與湖岸MN（湖岸可看作是直線）的夾角為60°，BA與BC的夾角為150°，并在湖岸上的D處建一個觀光亭，設CD＝xkm(1＜x＜4).
（Ⅰ）用x分別表示tan∠BDC和tan∠ADM；
（Ⅱ）試確定觀光亭D的位置，使得在觀光亭D處觀賞
觀光帶AB的視覺效果最佳.
(本小題滿分13分)
已知橢圓的焦點為F1(－4，0)，F2(4，0)，過點F2且垂直于
軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|BF1|＋|BF2|＝10，設點A，C為橢圓上不同兩點，使得|AF2|，|BF2|，|CF2|成等差數列.
(Ⅰ) 求橢圓的標準方程；
(Ⅱ) 求線段AC的中點的橫坐標；
（Ⅲ）求線段AC的垂直平分線在y軸上的截距
的取值范圍.
2009年4月
一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C
二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．
11．
12．
13．
14．
15．①②⑤
三、解答題：本題共6小題，共75分．
16．解：(1) 
??????????????????????????????????????? 3分
∴ 
∵ 
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
∴ 
(2) 
????????????????????????????????????????????????????? 8分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
∴ 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴ 
?????????????? 13分
17．解：(1) 有兩道題答對的概率為
，有一道題答對的概率為
??????????????????????????? 2分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????????????????? 7分
?????????????????????????????? 9分
??????????????????????????????? 11分
∴ 
的分布列為
35
40
45
50
P
???????????????????????????????????? 13分
18．(1) 證明：取CE中點M，則 FM
DE
∵ ABDE ∴ ABFM
∴ ABMF為平行四邊形
∴ AF∥BM
又AF
平面BCE，BM
平面BCE
∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 解：過C作l∥AB，則l∥DE ∴ 平面ABC
平面CDE = l
∵ AB⊥平面ACD ∴ l⊥平面ACD
∴ ∠ACD即為所求二面角的平面角，為60
?????????????????????????????????? 8分
(3) 解：設B在平面AFE內的射影為
，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．
∴ BE與平面AFE所成角為
∵ AF⊥CD，AF⊥DE ∴ AF⊥平面CDE ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF
∵ BM∥平面AEF ∴ 
由△CGF∽△EDF，得
∴ 
而 
∴ 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
19．解：(1) 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
由
由
∴ 
上單調遞減，在
上單調遞增????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????? 6分
∵ 上遞減 ∴ 
??????????????? 9分
設
∵ 
∴
上遞減
∴ 
即 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：(1) B（0，? b），A（
，0），F（c，0），P（c，
）
∵ 
∴ D為線段FP的中點，
∴ D為（c，
）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
∴ 
，∴ a = 2b，
∴ 
?????????????????????????????????????????????? 5分
(2) a = 2，則b = 1，B（0，?1） 雙曲線的方程為
①
設M（x1，y1），N（x2，y2），C（0，m）
由
由已知
???????????????????????????? 7分
設
整理得：
對滿足
的k恒成立
∴ 
．
故存在y軸上的點C（0，4），使
為常數17．????????????????????? 12分
21．解：(1) 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
切線方程為
與y = kx聯立得：
，令y = 0得：xB = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 由
??????????????????????????????????????????????????? 5分
兩邊取倒數得：
∴ 
∴ 
是以
為首項，為公比的等比數列（
時）
或是各項為0的常數列（k = 3時），此時an = 1
時
??????????????????????????????? 7分
當k = 3時也符合上式
∴
????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
(3) 作差得 
其中
由于 1 < k < 3，∴ 
∴ 
當
?????????????????????????????????????????????????? 12分
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