題目列表(包括答案和解析)
設函數
，
，其中實數
．
（1）若
，求函數
的單調區間；
（2）當函數
與
的圖象只有一個公共點且
存在最小值時，記的最小值為
，求的值域；
（3）若與在區間
內均為增函數，求實數
的取值范圍．
設函數
，
，其中實數
．
（1）若
，求函數
的單調區間；
（2）當函數
與
的圖象只有一個公共點且
存在最小值時，記的最小值為
，求的值域；
（3）若與在區間
內均為增函數，求實數
的取值范圍．
，
，其中實數
．
，求函數
的單調區間；
與
的圖象只有一個公共點且
存在最小值時，記的最小值為
，求的值域；與在區間
內均為增函數，求實數
的取值范圍．命題人：陽志長（株洲縣五中） 方厚良（株洲縣五中） 鄧秋和（株洲市二中）
審題人：鄧秋和（株洲市二中） 陽志長（株洲縣五中） 方厚良（株洲縣五中）
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
題號
1
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
答案
B
A
C
A
D
A
A
D
B
B
二、填空題：（本大題共５小題，每小題５分，共２５分。把答案填寫在相應的橫線上。）
11. 2 12.
13.20
14.－3或－7 15.
三、解答題：（本大題共6小題，滿分75分，解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16.解：（Ⅰ）根據正弦定理，由
得
，----2分
∴銳角
。???4分
（Ⅱ）∵
，
，???5分
＝
＝
。???9分
，
-----10分
，
，
故的取值范圍是
。-----12分
17.解：（Ⅰ）記A表示事件：進入該健身中心的1位健身者選擇的是甲種項目，B表示事件：進入該健身中心的1位健身者選擇的是乙種項目，則事件A與事件B相互獨立，P（A）＝
，P（B）＝
。???－1分
故進入該健身中心的1位健身者選擇甲、乙兩種項目中的一項的概率為：P
＝
＝P（A）
＋
＝
。-??4分
（Ⅱ）記C表示事件：進入該健身中心的1位健身者既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，D表示事件：進入該健身中心的4位健身者中，至少有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A2表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A3表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有3位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A4表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有4位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，???5分
則P（C）＝
，???7分
，???8分
，???9分
???10分
。???12分
18.解：（Ⅰ）
，
。???3分
（Ⅱ）如圖，以A為原點，DA、AB、AP所在直線為
、
、
軸，建立空間直角坐標系
，則B
，C（－2,4，0），P（0,0，2）。???5分
設平面PBC的一個法向量
由
取
得， 
，
，???7分
故點A到平面PBC的距離
???9分
（Ⅲ）設平面PDC的一個法向量
由
，
取
得， 
，
，???10分
故
，???11分
二面角
的大小為
。???12分
（其他解法酌情給分）
19（13分）. 解：（Ⅰ）
，
∴當
時，
。???2分
當
時，
，???4分
當時也滿足上式，故
數列
的通項公式是
。???6分（未驗算減1分）
（Ⅱ）
，???7分
①
②
①
－②得
，
。???9分（有錯位相減思想，計算錯誤得1分，后繼過程不計分）
，
數列
單調遞增，
最小，最小值為：
???11分
???12分
故正整數
的最大值為2。???13分
20.解：（Ⅰ）∵
，
∴
，即
，
∴
。----3分
設
，則
，
，
平方整理得曲線C的方程：
。-----6分
（Ⅱ）由曲線C的對稱性知，以N為中點的弦的斜率存在，設弦的端點為
，則
。-----8分
∵點A、B都在曲線C上，
，
兩式相減得：
，----10分
，
∴弦AB的斜率
，12分
∴弦AB的直線方程為
，即
。???13分
21（13分）. 解：（Ⅰ）
，???1分
，???2分
故函數
在區間
、
上單調遞增，
在
上單調遞減。???4分
（Ⅱ）∵二次函數
有最大值，
。???5分
由
得
，???6分
∵函數
與
的圖象只有一個公共點，
。
又
，
。???7分
又
，
。???8分
（Ⅲ）當時，函數在區間、上單調遞增，
函數
在區間
上單調遞增。
，解得
。???10分
當
時，函數在區間
、
上單調遞增，
函數在區間
上單調遞增。
，解得
。???12分
綜上所述，實數
的取值范圍是
。???13分
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