Question

設函數f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中實數a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當函數y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點且g（x）存在最小值時，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域；
（Ⅲ）若f（x）與g（x）在區間（a，a+2）內均為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，令導函數大于0可求函數的增區間，令導函數小于0可求函數的減區間．
（2）令f（x）=g（x）整理可得x[x²-（a²-2）]=0，故a²-2≤0求出a的范圍，再根據g（x）存在最小值必有a＞0，最后求出h（a）的值域即可．
（3）分別求出函數f（x）與g（x）的單調區間，然后令（a，a+2）為二者單調增區間的子集即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，又a＞0，
∴當x＜-a或x＞

a

3

時，f'（x）＞0；
當-a＜x＜

a

3

時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)內是增函數，在(-a，

a

3

)內是減函數．
（Ⅱ）由題意知x³+ax²-a²x+1=ax²-2x+1，
即x[x²-（a²-2）]=0恰有一根（含重根）．∴a²-2≤0，即-

2

≤a≤

2

，
又a≠0，∴a∈[-

2

，0)∪(0，

2

]．
當a＞0時，g（x）才存在最小值，∴a∈(0，

2

]．
g（x）=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

，
∴h(a)=1-

1

a

，a∈(0，

2

]．
h（a）≤1-

2

2

；
∴h（a）的值域為(-∞，1-

2

2

]．
（Ⅲ）當a＞0時，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)內是增函數，g（x）在(

1

a

，+∞)內是增函數．
由題意得

a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a

，解得a≥1；
當a＜0時，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）內是增函數，g（x）在(-∞，

1

a

)內是增函數．
由題意得

a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a

，解得a≤-3；
綜上可知，實數a的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，即當導函數小于0時原函數單調遞減，當導函數大于0時原函數單調遞增．