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設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，橢圓C上兩點(diǎn)P，Q在x軸上的射影分別為左焦點(diǎn)F₁和右焦點(diǎn)F₂，直線PQ的斜率為，過點(diǎn)A且與AF₁垂直的直線與x軸交于點(diǎn)B，△AF₁B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求橢圓方程；
（3）設(shè)點(diǎn)N（0，3）在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的最遠(yuǎn)距離不大于，求橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．

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設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，橢圓C上兩點(diǎn)P，Q在x軸上的射影分別為左焦點(diǎn)F₁和右焦點(diǎn)F₂，直線PQ的斜率為，過點(diǎn)A且與AF₁垂直的直線與x軸交于點(diǎn)B，△AF₁B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求橢圓方程；
（3）設(shè)點(diǎn)N（0，3）在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的最遠(yuǎn)距離不大于，求橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．

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一、選擇題: 本大題共12小題，每小題5分，共60分．

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

D

B

C

A

D

C

D

B

B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．

13．        14．        15．        16．

三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（本小題滿分12分）

解：⑴f (x)＝?－1＝（sin2x，cosx）?（1，2cosx）－1

          ＝sin2x＋2cos²x－1＝ sin2x＋cos2x＝2sin（2x＋）               3分

      由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ 得kπ－≤x≤kπ＋

      ∴f (x)的遞增區(qū)間為 （k∈Z）                             6分

⑵f (A)＝2sin（2A＋）＝2  ∴sin（2A＋）＝1

∴2A＋＝∴A＝                                                     9分

由正弦定理得： ．∴邊長(zhǎng)b的值為．               12分

18．（本小題滿分12分）

 解: 將一顆骰子先后拋擲2次，此問題中含有36個(gè)等可能基本事件               1分

（1）記“兩數(shù)之和為5”為事件A，則事件A中含有4個(gè)基本事件，

所以P（A）=；

答：兩數(shù)之和為5的概率為．                                            4分

 （2）記“兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)”為事件B，則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對(duì)立事件，

所以P（B）=；

答：兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率．                                     8分

（3）基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)（x，y）在圓x²+y²=15的內(nèi)部記為事件C，則C包含8個(gè)事件，

所以P（C）=．

答：點(diǎn)(x,y)在圓x²+y²=15的內(nèi)部的概率．                               12分

19．（本小題滿分12分）

（1）證法1：如圖，取的中點(diǎn)，連接，

∵分別為的中點(diǎn)，∴．

∵分別為的中點(diǎn)，∴．

∴．

∴四點(diǎn)共面．………………………………………………………………2分

∵分別為的中點(diǎn)，∴．……………………………………4分

∵平面，平面，

∴平面．……………………………………………………………………6分

證法2：∵分別為的中點(diǎn)，

∴，．……………………………………………………………2分

∵，∴．又

                          …………………4分

∵，∴平面平面．               …………………5分

∵平面，∴平面． …………………………………………6分

（2）解：∵平面，平面，∴．

∵為正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………8分

∵，，∴．……………10分

∵，

∴．…………………………………12分

20．（本小題滿分12分）

解：（1）∵

　　　　                                 …………………2分

（2）證明：

       　是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．        ………………7分

       （3）由（I）得

       　　                                ………………12分

21．（本小題滿分12分）

解：（1）設(shè)切線的斜率為k，則           ………2分

    又，所以所求切線的方程為：                           …………4分

     即                                                                              …………6分

   （2）， ∵為單調(diào)增函數(shù)，∴

    即對(duì)任意的                                                 …………8分

                                                                          …………10分

    而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

所以                                                  …………12分

22．（本小題滿分14分）

解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

       由已知得：                       …………3分

       橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                 …………5分

       （2）設(shè)．

       聯(lián)立      得:，      …………6分

則        …………8分

       又．

       因?yàn)橐?sub>為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，

       ，即．                            …………9分

       ．

       ．

       ．                                      …………10分

       解得：，且均滿足．         …………11分

       當(dāng)時(shí)，的方程，直線過點(diǎn)，與已知矛盾；…………12分

       當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)．     …………13分

       所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．                         …………14分