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已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁、F₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準線l與x軸的交點為M，

MA1

=2

A1F1

．
（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點M的直線l'與橢圓交于C、D兩點，若

OC

•

OD

=0，求直線l'的方程．

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一、選擇題: 本大題共12小題，每小題5分，共60分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

D

B

C

A

D

C

D

B

B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．

13．        14．        15．        16．

三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（本小題滿分12分）

解：⑴f (x)＝?－1＝（sin2x，cosx）?（1，2cosx）－1

          ＝sin2x＋2cos²x－1＝ sin2x＋cos2x＝2sin（2x＋）               3分

      由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ 得kπ－≤x≤kπ＋

      ∴f (x)的遞增區間為 （k∈Z）                             6分

⑵f (A)＝2sin（2A＋）＝2  ∴sin（2A＋）＝1

∴2A＋＝∴A＝                                                     9分

由正弦定理得： ．∴邊長b的值為．               12分

18．（本小題滿分12分）

 解: 將一顆骰子先后拋擲2次，此問題中含有36個等可能基本事件               1分

（1）記“兩數之和為5”為事件A，則事件A中含有4個基本事件，

所以P（A）=；

答：兩數之和為5的概率為．                                            4分

 （2）記“兩數中至少有一個奇數”為事件B，則事件B與“兩數均為偶數”為對立事件，

所以P（B）=；

答：兩數中至少有一個奇數的概率．                                     8分

（3）基本事件總數為36，點（x，y）在圓x²+y²=15的內部記為事件C，則C包含8個事件，

所以P（C）=．

答：點(x,y)在圓x²+y²=15的內部的概率．                               12分

19．（本小題滿分12分）

（1）證法1：如圖，取的中點，連接，

∵分別為的中點，∴．

∵分別為的中點，∴．

∴．

∴四點共面．………………………………………………………………2分

∵分別為的中點，∴．……………………………………4分

∵平面，平面，

∴平面．……………………………………………………………………6分

證法2：∵分別為的中點，

∴，．……………………………………………………………2分

∵，∴．又

                          …………………4分

∵，∴平面平面．               …………………5分

∵平面，∴平面． …………………………………………6分

（2）解：∵平面，平面，∴．

∵為正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………8分

∵，，∴．……………10分

∵，

∴．…………………………………12分

20．（本小題滿分12分）

解：（1）∵

　　　　                                 …………………2分

（2）證明：

       　是以為首項，2為公比的等比數列．        ………………7分

       （3）由（I）得

       　　                                ………………12分

21．（本小題滿分12分）

解：（1）設切線的斜率為k，則           ………2分

    又，所以所求切線的方程為：                           …………4分

     即                                                                              …………6分

   （2）， ∵為單調增函數，∴

    即對任意的                                                 …………8分

                                                                          …………10分

    而，當且僅當時，等號成立.

所以                                                  …………12分

22．（本小題滿分14分）

解：（1）由題意設橢圓的標準方程為，

       由已知得：                       …………3分

       橢圓的標準方程為．                                 …………5分

       （2）設．

       聯立      得:，      …………6分

則        …………8分

       又．

       因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，

       ，即．                            …………9分

       ．

       ．

       ．                                      …………10分

       解得：，且均滿足．         …………11分

       當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；…………12分

       當時，的方程為，直線過定點．     …………13分

       所以，直線過定點，定點坐標為．                         …………14分