已知等邊△ABC邊長為a，D、E分別為AB、AC邊上的動點，且在運動時保持DE∥BC，如圖（1），⊙O₁與⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分別與∠B和∠C的兩邊及DE都相切，其中和DE、BC的切點分別為M、N、M′、N′．
（1）求證：⊙O₁和⊙O₂是等圓；
（2）設⊙O₁的半徑長為x，圓心距O₁O₂為y，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當⊙O₁與⊙O₂外切時，求x的值；
（4）如圖（2），當D、E分別是AB、AC邊的中點時，將⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后將重合后的圓沿著△ABC內各邊按圖（2）中箭頭的方向進行滾動，且總是與△ABC的邊相切，當點O₁第一次回到它原來的位置時，求點O₁經過的路線長度？

如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，AD為BC邊上的高，點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s，點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，若點P、Q兩點同時出發，設它們的運動時間為x（s）．
（l）求x為何值時，PQ⊥AC；x為何值時，PQ⊥AB？
（2）當O＜x＜2時，AD是否能平分△PQD的面積？若能，說出理由；
（3）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系，請寫出相應位置關系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．