探索、研究：下圖是按照一定的規(guī)律畫出的一列“樹型”圖，下表的n表示“樹型”圖的序號，a_n表示第n個“樹型”圖中“樹枝”的個數．
圖：
表：

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

（1）根據“圖”、“表”可以歸納出a_n關于n的關系式為______．
若直線l₁經過點（a₁，a₂）、（a₂，a₃），求直線l₁對應的函數關系式，并說明對任意的正整數n，點（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．
（2）設直線l₂：y=-x+4與x軸相交于點A，與直線l₁相交于點M，雙曲線y=（x＞0）經過點M，且與直線l₂相交于另一點N．
①求點N的坐標，并在如圖所示的直角坐標系中畫出雙曲線及直線l₁、l₂．
②設H為雙曲線在點M、N之間的部分（不包括點M、N），P為H上一個動點，點P的橫坐標為t，直線MP與x軸相交于點Q，當t為何值時，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面積等于1？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
③在y軸上是否存在點G，使得△GMN的周長最��？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．