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已知：如圖①，tan∠MON=

1

2

，點(diǎn)A是OM上一定點(diǎn)，AC⊥ON于點(diǎn)C，AC=4cm，點(diǎn)B在線段OC上，且tan∠ABC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒

5

cm的速度在射線OM上勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q、R在射線ON上，且PQ∥AB，PR∥AC．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了x秒．
（1）用x表示線段OP的長為

 

cm；用x表示線段OR的長為

 

cm；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中△PQR與△ABC重疊部分的面積為S，試寫出S與時(shí)間的x函數(shù)關(guān)系式；
（圖②供同學(xué)畫草圖使用）
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△PQR與△ABC重疊部分的面積為

9

4

？

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已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DE⊥DB交AB于點(diǎn)E，過B、D、E三點(diǎn)作⊙O．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O交BC于點(diǎn)F，連接EF，若BC=9，CA=12．求

EF

AC

的值．

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已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）當(dāng)BD=2，sinC=

1

2

時(shí)，求⊙O的半徑．

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已知：如圖，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，直線AE交BC于D．
求證：AD⊥BC
證明：∵AB=AC  （已知），∴∠ABC=∠ACB  （

 

 ）
∵BE平分∠ABC （已知），CE平分∠ACB （已知），
∴∠EBD=

1

2

 

，∠ECD=

1

2

 

 （ 角平分線的定義  ），
∴∠EBD=∠ECD  （ 等量代換 ），
∴BE=CE  （

 

  ），
在△ABE和△ACE中，
∵

AB=AC(已知) BE=CE(已證) AE=AE(公共邊)

∴△ABE≌△ACE  （

 

），
∴∠BAE=∠CAE  （全等三角形對應(yīng)角相等），
∵AB=AC （已知），
∴AD⊥BC  （

 

）．

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已知：如圖，在△ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．求△ABC的面積．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

B

C

B

D

A

D

D

C

二、填空題

題 號

11

12

13

14

15

答 案

2＜x＜8

（-3，-7）

2cm

34.28

三、解答題（本大題有7題，共55分）

16．1

17．經(jīng)檢驗(yàn)：x₁=0，x₂=2是原方程的根．

18．解：（1）根據(jù)題意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又  ∠ABC=∠AFG=90，

 ∴△ABC∽△GFA

∴ ，得BC=3.2(m),CD=(2+3)-3.2=1.8(m)

 （2）設(shè)樓梯應(yīng)建x個(gè)臺階，則，

解得，14＜x＜16

      ∴樓梯應(yīng)建15個(gè)臺階 

19.（1）    （2）     不公平改為“如果和為0，李明得3分，其余不變

20.解：（1）△AEF是等邊三角形．

由折疊過程易得：

∵BC∥AD，∴     

∴△AEF是等邊三角形．                

　　（2）不一定． 

　當(dāng)矩形的長恰好等于等邊△AEF的邊AF時(shí)，

即矩形的寬∶長＝AB∶AF＝sin60°＝時(shí)正好能折出．

　如果設(shè)矩形的長為a，寬為b，

可知當(dāng)時(shí)，按此法一定能折出等邊三角形；

 　當(dāng)時(shí)，按此法無法折出完整的等邊三角形．

21.（1）證明：∵AB = AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BD．

              又∵BD是圓O直徑，∴AD是圓O的切線．

（2）解：連結(jié)OP，OE．

            由BC = 8，得CD = 4，OC = 6，OP = 2．

∵PC是圓O的切線，O為圓心，∴．

            于是，利用勾股定理，得．

∵，，

∴△DCE∽△PCO．

∴，即得．

∵PE、DE是圓O的切線，∴．

于是，由，得．

又∵OB = OP，∴．

于是，由，得．

∴．∴OE // AB．

∴，即得．

∴．

22. 解：(1)因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)、N(2，3)

所以，可建立方程組：，解得：

所以，所求二次函數(shù)的解析式為y=－x²＋2x＋3，

所以，頂點(diǎn)M(1，4)，點(diǎn)C(0，3) -------2分

(2)直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，所以，即k＝1，d＝3，

直線解析式為y＝x＋3

令y＝0，得x＝－3，故D(－3，0）

∴ CD＝，AN＝，AD=2，CN=2

∴CD＝AN，AD=CN

∴ 四邊形CDAN是平行四邊形

(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1，故可設(shè)P(1，)，

則PA是圓的半徑且PA²=y₀²＋2²，

過P作直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ＝PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切。

由第(2)小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P(1，)得PE＝，PM＝|4-|，，

由PQ²=PA²得方程：，解得，符合題意，

所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為(1，)或(1，)