拋物線y=x²在直角坐標系中向下平移4個單位得到拋物線y₁，y₁與x軸的交點為A₁、B₁，與y軸的交點為O₁，A₁、B₁、O₁對應y=x²上的點依次為A、B、O．
（1）寫出y₁的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線Y和y₁及線段AA₁和BB₁圍成的圖形的面積；
（3）若平行于x軸的一條直線y=m與拋物線y交于P、Q兩點，與拋物線y₁交于R、S兩點，且P、Q兩點三等分線段RS，求m的值；
（4）若正比例函數y=kx（k≠0）與拋物線y₁交于M、N兩點，問點O能否平分線段MN，并說明理由．

拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點為A（m-4，0）和B（m，0），與直線y=-x+p相交于點A和點C（2m-4，m-6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，且以點P和A，C以及另一點Q為頂點的平行四邊形面積為12，求點P，Q的坐標；
（3）在（2）條件下，若點M是x軸下方拋物線上的動點，當△PQM的面積最大時，請求出△PQM的最大面積及點M的坐標．

拋物線y=-

1

4

（x-1）²+3與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．
（1）如圖1．求點A的坐標及線段OC的長；
（2）點P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點Q，連接BQ．
①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上．求直線BQ的函數解析式；
②若含30°角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上，另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．