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如圖，在平行四邊形ABCD中，于E，于F，BD與AE、AF分別相交于G、H．

（1）求證：△ABE∽△ADF；

（2）若，求證：四邊形ABCD是菱形．

 

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如圖，在平行四邊形ABCD中，于E，于F，BD與AE、AF分別相交于G、H．

 

（1）求證：△ABE∽△ADF；

（2）若，求證：四邊形ABCD是菱形．

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一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）

1．B                     2．A                    3．D                    4．A                    5．C

6．D                    7．B                     8．C                     9．C                     10．A

二、填空題（本題有6小題，每題5分，共30分）

11．5.6                                      12．5

13．                14．

15．                                    16．

三、解答題（本題有8小題，第17～20題每題8分，第21題10分，第22、23題每題12分，第24題14分，共80分）

17．

    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

         ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

18．

    ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

19．設（度），則，．

根據四邊形內角和定理得，．  ???????????????????????????????????? 4分

解得，．

∴，，．  ???????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

20．（1）B機器的產量為150件，   ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

A機器的產量約為210件．   ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）C機器產量的百分比為40%．   ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

設C機器的產量為x，

由，得，即C機器的產量為240件．   ???????????????????????????????? 8分

21．

（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°．   ??????????????????????????????????????????????? 2分

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABE=∠ADF．    ?????????????????????????????????????? 4分

∴△ABE∽△ADF        ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（2）∵△ABE∽△ADF，

∴∠BAG=∠DAH．

∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，

從而∠AGB=∠AHD．

∴△ABG≌△ADH．  ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形．          ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

22．（1）∵都是正整數，且，∴．

∴，，，??????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）從，，，中任取兩點作直線為：

，，，，，．

∴不同的直線共有6條．　??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（3）∵只有直線，與拋物線有公共點，

∴從（2）的所有直線中任取一條直線與拋物線有公共點的概率是　?????????? 12分

23．（1）由，解得，所以　?????????????????????????????????????????? 4分

（2），．

在△OCD中，，，

∴．　???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（3）取點A關于原點的對稱點，則問題轉化為求證．

由勾股定理可得，

，，，

∵，

∴△EOB是等腰直角三角形．

∴．　

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

24．（1）在△ABC中，∵，，．

∴，解得．　????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）①若AC為斜邊，則，即，無解．

②若AB為斜邊，則，解得，滿足．

③若BC為斜邊，則，解得，滿足．

∴或．　??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（3）在△ABC中，作于D，設，△ABC的面積為S，則．

①若點D在線段AB上，則．

∴，即．

∴，即．

∴（）．　?????????????????? 11分

當時（滿足），取最大值，從而S取最大值．?????????? 13分

②若點D在線段MA上，則．

同理可得，

（），

易知此時．

綜合①②得，△ABC的最大面積為???????????????????????????????????????????????????????????? 14分