如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點．點A、C的坐標分別是（-1，0）、（0，2）．
（1）求此拋物線對應的函數解析式；
（2）若點P是拋物線上位于x軸上方的一個動點，求△ABP面積的最大值．
（3）試探究：若點Q是拋物線的對稱軸x=1上一動點，當點Q在什么位置時△BCQ是等腰三角形．在圖中作出符合條件的點Q的位置（保留作圖痕跡），并至少求出其中一個點Q的坐標．

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點．點A、C的坐標分別是（-1，0）、（0，2）．
（1）求此拋物線對應的函數解析式；
（2）若點P是拋物線上位于x軸上方的一個動點，求△ABP面積的最大值．
（3）試探究：若點Q是拋物線的對稱軸x=1上一動點，當點Q在什么位置時△BCQ是等腰三角形．在圖中作出符合條件的點Q的位置（保留作圖痕跡），并至少求出其中一個點Q的坐標．

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交坐標軸于點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求此拋物線函數解析式及頂點M的坐標；
（2）若直線CM與x軸交于點D，E是C關于此拋物線對稱軸的對稱點，試判斷四邊形ADCE的形狀并說明理由；
（3）若P是該拋物線上異于A、B兩點的一個動點，連接BP交y軸正半軸于點N，是否存在點P使△AOC與△BON相似？若存在請直接寫出點P的坐標，若不存在請說明理由．

已知，如圖，一條拋物線的對稱軸是直線x=

3

2

，經過點（1，-3）、（3，-2），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．D、E分別是邊AC、BC上的兩個動點（不與A、B重合），且保持DE∥AB．以DE為邊向上作正方形DEFG．
（1）求二次函數的解析式．
（2）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（3）當正方形的邊GF在AB邊上時，求正方形DEFG的邊長．
（4）當D、E在運動過程中，正方形DEFG的邊長能否與△ABC的外接圓相切？若相切，求出DE的長；若不能，則說明理由．