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(12分)設(shè)直線與橢圓相切。 （I）試將用表示出來(lái)； （Ⅱ）若經(jīng)過(guò)動(dòng)點(diǎn)可以向橢圓引兩條互相垂直的切線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值。

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（2013•成都二模）如圖，某中學(xué)甲、乙兩班共有25名學(xué)生報(bào)名參加了一項(xiàng) 測(cè)試．這25位學(xué)生的考分編成的莖葉圖，其中 有一個(gè)數(shù)據(jù)因電腦操作員不小心刪掉了（這里暫用x來(lái)表示），但他清楚地記得兩班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)相同．
（I）求這兩個(gè)班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)及x的值；
（II）如果將這些成績(jī)分為“優(yōu)秀”（得分在175分 以上，包括175分）和“過(guò)關(guān)”，若學(xué)校再?gòu)倪@兩個(gè)班獲得“優(yōu)秀”成績(jī)的考生中選出3名代表學(xué)校參加比賽，求這 3人中甲班至多有一人入選的概率．

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數(shù)學(xué)（文）

第I卷（共60分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

D

B

A

A

D

A

C

B

A

A

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．     14．3        15．97       16．③

三、解答題（共74分）

17．（本小題滿分12分）

   （I）的內(nèi)角和。

        ，

   （Ⅱ）

         當(dāng)即時(shí)，取最大值

18．（本題滿分12分）

    記A：該夫婦生一個(gè)小孩是患病男孩，B：該夫婦生一個(gè)小孩是患病女孩：C：該夫婦生一個(gè)小孩是不患病男孩；D：該夫婦生一個(gè)小孩是不患病女孩，則

   （I）

   （Ⅱ）該夫婦所生的前兩個(gè)是患病男孩，后一個(gè)患病女孩的概率為，所以

19．（本題滿分12分）

解法一：（I）證明：連接，設(shè)，連接DE

     三棱柱是正三棱柱，且，

     四邊形是正方形，

     ∴E是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，

     ∴

     ∵平面平面，

     ∴平面

（Ⅱ）解：在平面內(nèi)作于點(diǎn)，在面；內(nèi)作于連接。

     ∵平面平面，∴平面，

     ∵是在平面上的射影，

     ∴是二面角的平面角

     設(shè)在正中，

     在中，在中，

     從而

     所以，二面角的平面角的余弦值為

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

（I）證明：連接設(shè)，連接，設(shè)

    則

    平面平面平面

（Ⅱ）解：∵

      設(shè)是平面的法向量，則，且

      故，取，得；

      同理，可求得平面的法向量是

      設(shè)二面角的大小為，則

      所以，二面角的平面角的余弦值為

20．（本題滿分12分）

   （I），依題意，，即

        解得

        令，得或列表可得：

1

+

0

―

0

+

遞增

極大

遞減

極小

遞增

        所以，是極大值；是極小值

  （Ⅱ）曲線方程為點(diǎn)不在曲線上，

        設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

        因，故切線的方程為

        注意到點(diǎn)在切線上，有

        化簡(jiǎn)得，解得

21．（本題滿分12分）

  （I）將代入得，整理得

      由得，故

（Ⅱ）當(dāng)兩條切線的斜率都存在而且不等于時(shí)，設(shè)其中一條的斜率為k，

      則另外一條的斜率為

      于是由上述結(jié)論可知橢圓斜率為k的切線方程為

          ①

      又橢圓斜率為的切線方程為

          ②

       由①得

       由②得

兩式相加得

      于是，所求P點(diǎn)坐標(biāo)滿足因此，

      當(dāng)一條切線的斜率不存在時(shí)，另一條切線的斜率必為0，此時(shí)顯然也有

      所以為定值。

22．（本題滿分14分）

 （I）由知

      當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得

        ①

      以代替得

         ②

      兩式相減得

      則，其中

      所以，數(shù)列為等差數(shù)列

 （Ⅱ）由，結(jié)合（I）的結(jié)論知

       于是，

       所以，原不等式成立

其他解法參照以上評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分

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