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如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,DAB為直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點(diǎn).
（Ⅰ）試證：CD⊥平面BEF;
（Ⅱ）設(shè)PA＝k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范圍.

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如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

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一、選擇題 （每小題5分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

A

D

C

B

C

B

D

B

二、填空題（每小題5分）

13. 　　　14. 　　　15.8　　16. ①②③

三．解答題

17.解 (1)由得：，        ……………………………… 2分

即，      ……………… 4分

當(dāng)時(shí)，，

　　因?yàn)?sub>，有，，得

 故          ……………………………  8分

(2)∵是奇函數(shù)，且將的圖象先向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，可以得到的圖象，∴是滿足條件的一個(gè)平移向量．……12分

18．解：設(shè)表示一個(gè)基本事件，則擲兩次骰子包括：，，，，， ，，，……，，，共36個(gè)基本事件…………2分．

（1）用表示事件“”，則的結(jié)果有，，，共3個(gè)基本事． ∴．                         ………………6分

   （2）用表示事件“”，則的結(jié)果有，，，，，，，，共8個(gè)基本事件．       ………………9分

 ∴．                                ………………12分

19．(Ⅰ) 解法一：

（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且DAD為直角，故ABFD是矩形，從而CDBF.  ……… 4分

又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分別PC、CD的中點(diǎn)，故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF.

                                             ………7分

（Ⅱ）連結(jié)AC交BF于G.易知G為AC的中點(diǎn).連接EG,則在△PAC中易知EC∥PA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，過C作GHBD,垂足為H,連接EH.由三垂線定理知EHBD.從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.         ………8分

設(shè)AB=a,則在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下計(jì)算GH，考察底面的平面圖（如答(19)圖２）.連結(jié)GD.

因S_△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.

在△ABD中，因?yàn)?i>AB＝a,AD=2A,得BD=a

而GB=FB=AD-a.DF-AB,從而得GH== ＝

因此tanEHG==              ………10分

由k＞0知是銳角，故要使＞，必須＞tan=

解之得，k的取值范圍為k＞                      ………12分

解法二：

（Ⅰ）如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為：軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a,則易知點(diǎn)A,B,C,D,F的坐標(biāo)分別為

A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

從而=(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　　　

?=0,故  .

設(shè)PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點(diǎn).故         第（20）

?=0,故.

由此得CD面BEF.

（Ⅱ）設(shè)E在xOy平面上的投影為G，過G作GHBD垂足為H,由三垂線定理知EHBD.

從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).設(shè)H(x,y,0)，則=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),由?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a     

①又因=(x,a,y,0),且與的方向相同，故＝，即2x+y=2a      ②由①②解得x=a,y=a,從而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.由k＞0知，EHC是銳角，由EHC＞得tanEHG＞tan即＞故k的取值范圍為k＞.

20．解

（1）當(dāng)n = 1時(shí)，解出a₁ = 3, （a₁ = 0舍）

    又4S_n = a_n² + 2a_n－3              ①

當(dāng)時(shí)    4s_n－1 =  + 2a_n-1－3    ②  

……………………………… 2分

    ①－②  , 即，

    ∴ ,……………………………… 4分

    （），

    是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列， 

    ． ……………………………… 6分

   （2）  ③

    又 ④…………………… 8分

    ④－③

      ……………………………… 12分

   21．解：（1）

……………………………… 2分

    恒成立

    即恒成立

    顯然時(shí)，上式不能恒成立

    是二次函數(shù)

    由于對(duì)一切于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

    ……………………………… 4分

    即

     ．……………………………… 6分

（2）

    即

……………………………… 12分

    當(dāng)，

當(dāng)．……………………………… 12分

22．解（1）設(shè)，代入得，

化簡得．                     ……………………………… 4分

(2)直線與圓相切,證明(略)             ……………………………… 8分

（3）將代入得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的方程為代入，得，

由