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19. [解](1)，　

　.　　　　　　　

(2)，　　

　 ，　　 ，　　　　 ，

　　 　函數的值域為.　

5．函數的值域是_____________［］

　(2006安徽)設，對于函數，下列結論正確的是(　 )

A．有最大值而無最小值　 　　　　 B．有最小值而無最大值

C．有最大值且有最小值 　 　　　　 D．既無最大值又無最小值

[例1] 試求函數y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈［0，］呢？

剖析：注意sinx+cosx與sinx·cosx之間的關系，進行換元可將原函數轉化成一元二次函數來解.

解：令t=sinx+cosx=sin(x+)∈［－，］，則y=t²+t+1∈［，3+］，即最大值為3+，最小值為.當x∈［0，］時，則t∈［1，］，此時y的最大值是3+，而最小值是3.

評述：此題考查的是換元法，轉化思想，在換元時要注意變量的取值范圍.

(2006廣東15)已知函數

(Ⅰ)求的最小正周期；

(Ⅱ)求的最大值和最小值；

(Ⅲ)若，求的值　

解：

(Ⅰ)的最小正周期為;

(Ⅱ)的最大值為和最小值；

(Ⅲ)因為，即,即

(2006春上海19) 已知函數.

(1)若，求函數的值；　　 (2)求函數的值域.

10.已知函數(a∈(0，1))，求f(x)的最值，并討論周期性，奇偶性，單調性。

解:三角函數式降冪

∴ f(x)=　 令

則 y=a^u　 ∴ 0<a<1 y=a^u是減函數

∴ 由得，此為f(x)的減區間

由得，此為f(x)增區間

∵ u(-x)=u(x)　 ∴ f(x)=f(-x), f(x)為偶函數

∵ u(x+π)=f(x), ∴ f(x+π)=f(x)

∴ f(x)為周期函數，最小正周期為π

當x=kπ(k∈Z)時，y_min=1

當x=kπ+(k∈Z)時，y_nax=

[探索題]函數f(x)=1－2a－2acosx－2sin²x的最小值為g(a)，a∈R，

(1)求g(a)；

(2)若g(a)=，求a及此時f(x)的最大值.

解：(1)f(x)=1－2a－2acosx－2(1－cos²x)

=2cos²x－2acosx－1－2a

=2(cosx－)²－－2a－1.

若＜－1，即a＜－2，則當cosx=－1時，

f(x)有最小值g(a)=2(－1－)²－－2a－1=1；

若－1≤≤1，即－2≤a≤2，則當cosx=時，f(x)有最小值g(a)=－－2a－1；

若＞1，即a＞2，則當cosx=1時，f(x)有最小值g(a)=2(1－)²－－2a－1=1－4a.

∴g(a)=

(2)若g(a)=，由所求g(a)的解析式知只能是－－2a－1=或1－4a=.

由a=－1或a=－3(舍).

由a=(舍).

此時f(x)=2(cosx+)²+，得f(x)_max=5.

∴若g(a)=，應a=－1，此時f(x)的最大值是5.

備選題

9. (2006陜西)已知函數f(x)=sin(2x－)+2sin²(x－) (x∈R)

(Ⅰ)求函數f(x)的最小正周期 ;　 (2)求使函數f(x)取得最大值的x的集合

　 解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

　　　　　 = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

　　　　 =2sin[2(x－)－]+1

　　　　 = 2sin(2x－) +1　

∴ T==π

　 (Ⅱ)當f(x)取最大值時， sin(2x－)=1，有　 2x－ =2kπ+

即x=kπ+ 　 (k∈Z)　 ∴所求x的集合為{x∈R|x= kπ+ ，　 (k∈Z)}

8.(2005浙江)已知函數f(x)＝－sin²x+sinxcosx．

　(Ⅰ) 求f()的值；

　　 (Ⅱ) 設∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解：(Ⅰ)

　　 (Ⅱ)

　　　　 　　解得

7.設，若方程有兩解，求的取值范圍。

解：設，

要使兩函數圖象有交點,由圖可知。

6.4R.

[解答題]

6. 半徑為R的圓的內接矩形周長的最大值等于__________.

◆練習簡答：1-4：BBCC；5. 令t=sinx+cosx，則y=最小值

5.函數的最小值等于________。

4.(全國卷Ⅱ)函數f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是　　　　　　　　 　　　　 (　 )

　　　 A．　　 B．　　 C．π　　 D．2π

[填空題]